[题解] LuoguP2764 最小路径覆盖问题

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传送门

好久没做网络流方面的题发现自己啥都不会了qwq

题意：给一张有向图，让你用最少的简单路径覆盖所有的点。

考虑这样一个东西，刚开始，我们有\(n\)条路径，每条路径就是单一的一个点，那么我们的目的就是进行若干次操作将路径两两合并，这样对于一个以节点\(x\)，它作为路径的端点最多被合并两次（一次连出边一次连入边）。

于是考虑二分图，将点\(x\)炸成两个点\(x_0,x_1\)，\(x_0\)表示\(x\)连出去的出边，\(x_1\)表示\(x\)连进来的入边。那么对于图上一条\(u \rightarrow v\)的路径，在\(u_0,v_1\)之间连一条边，表示合并一条\(u\)为端点的路径和一条\(v\)为端点的路径。

这样，在合法的情况下最大的合并次数就是这张二分图的最大匹配数。

最小的路径条数就是\(n-\)最大匹配。匈牙利或者网络流啥的求出最大匹配，然后打印方案的话就对整张图照着最大匹配中的边\(Dfs\)一遍。

网络流的代码 还是感觉匈牙利好写......：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for (int i=(a);i<(b);++i)
#define per(i,a,b) for (int i=(a)-1;i>=(b);--i)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;

const int N=1e5+10,INF=0x3f3f3f3f;

struct Dinic {
    int n,S,T;
    int to[N<<1],nxt[N<<1],fst[N],cap[N<<1],flow[N<<1],cnt=0;

    inline void ade(int x,int y,int w) {
        to[++cnt]=y,cap[cnt]=w,flow[cnt]=0;
        nxt[cnt]=fst[x],fst[x]=cnt;
    }
    inline void addedge(int x,int y,int w) {ade(x,y,w),ade(y,x,0);}

    int d[N],q[N];
    bool bfs() {
        rep(i,0,n+1) d[i]=0;
        int tn=1; q[0]=S;
        d[S]=1;
        rep(_,0,tn) {
            int u=q[_];
            for(int i=fst[u];i;i=nxt[i]) {
                int v=to[i];
                if(d[v]==0&&cap[i]>flow[i]) {
                    d[v]=d[u]+1;
                    q[tn++]=v;
                }
            }
        }
        return d[T]!=0;
    }

    int cur[N];
    int dfs(int x,int ag) {
        if(x==T||ag==0) return ag;
        for(int &i=cur[x];i;i=nxt[i]) {
            int v=to[i];
            if(cap[i]>flow[i]&&d[v]==d[x]+1) {
                int out=dfs(v,min(ag,cap[i]-flow[i]));
                if(out) {
                    flow[i]+=out;
                    flow[i^1]-=out;
                    return out;
                }
                else d[v]=0;
            }
        }
        return 0;
    }

    int Maxflow() {
        int ans=0,out=0;
        while(bfs()) {
            rep(i,0,n+1) cur[i]=fst[i];
            while(out=dfs(S,1e9)) ans+=out;
        }
        return ans;
    }

    void init(int tn,int s,int t) {
        S=s,T=t,n=tn;
        rep(i,0,n+1) fst[i]=0;
        cnt=1;
    }
}flow;

#define IDL(x) (x)
#define IDR(x) ((x)+n)
#define NODE(x) ((x)<=n?(x):(x)-n)
int n,m;
int vis[233][233],mark[N];
VI g[N];

void dfs(int x) {
    printf("%d ",x);
    mark[x]=1;
    for(auto v:g[x]) if(vis[x][v])
        dfs(v);
}

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    const int S=n*2+1,T=n*2+2;
    flow.init(n*2+5,S,T);
    rep(i,1,n+1) flow.addedge(S,IDL(i),1),flow.addedge(IDR(i),T,1);
    rep(i,0,m) {
        int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
        flow.addedge(IDL(x),IDR(y),INF);
        g[x].pb(y);
    }
    int ans=n-flow.Maxflow();
    rep(i,2,flow.cnt+1) if(flow.flow[i]==1)
        vis[NODE(flow.to[i^1])][NODE(flow.to[i])]=1;
    rep(i,1,n) if(!mark[i]) dfs(i),puts("");
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

[题解] LuoguP2764 最小路径覆盖问题

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