标签：read inter char getc namespace main 自己的 分析 lld
I shall dedicate myself to the interest of the country in life and death, irrespective of personal weal and woe.
——Lin Zexu
最近，goldgenius 决定想办法提升自己的逼格。经过数日的研究，他发现：回文数字是非常有逼格的。为了让自己成为一个更有逼格的人，他想要知道：
\[
\large{S_n=\sum_{i=1}^n is_i\times\left(s\bmod 2\right)}
\]
其中 \(s_i\) 是长度为 \(i\) 的回文数个数（不允许有前导 \(0\)）。
本题有多组测试数据。
第一行一个正整数 \(T\)，即测试数据组数。
接下来 \(T\) 行，每行一个正整数 \(n\)。
共 \(T\) 行，每行一个整数，表示 \(S_n \bmod 233333\)。
测试时间限制 \(1000\textrm{ms}\)，空间限制 \(128\textrm{MiB}\)
先考虑部分分。
优秀的暴力模板。
枚举所有 \(k<10^n\)，判断回文即可。
复杂度上限：\(\Theta(Tn\times 10^n)\)。
懂点数学的都应该拿到这一部分分。
考虑对于长度为 \(n\) 的回文数（无前导 \(0\)）的数量，应该为 \(9\times 10^{\lceil\frac{n}{2}\rceil-1}\)
为什么？度娘 or 小猿搜题给你答案。
然后枚举一遍，从 \(1\) 到 \(n\) 就行，复杂度 \(\Theta(\sum n)\)
在这里，\(n\) 变得很大，如何快速求出一个 \(n\) 值呢？
考虑递推，设 \(S'_n=S_{2n-1}\)，则 \(S'_n=S'_{n-1}+(2n-1)\times 9\times 10^{n-1}\)
可以通过矩阵快速幂得到，复杂度进一步降到 \(\Theta(T\log n)\)
接下来就是无聊的卡常环节。
矩阵快速幂常数略大，怎么优化？
还看到这个式子：
\[
\large{S'_n = 9\times \sum_{i=1}^n(2i-1)\times 10^{i-1}}
\]
我们要核心解决的就是
\[
S=\sum_{i=1}^n(2i-1)\times 10^{i-1}
\]
注意到这是等差与等比相乘，考虑裂项。即：
\[
10S-S=\sum_{i=1}^n(2i-1)\times 10^i-\sum_{i=1}^n(2i-1)\times 10^{i-1}\9S=\sum_{i=1}^n(2i-1)\times 10^i-\sum_{i=0}^{n-1}(2i+1)\times 10^i
\]
对上了，将两项分离开，剩下的放一起，整理得：
\[
9S=(2n-1)\times 10^n-1-2\times\sum_{i=1}^{n-1}10^i
\]
运用等比数列求和公式得：
\[
9S=(2n-1)\times 10^n-1-2\times\dfrac{10^n-10}{9}
\]
注意到 \(S'_n=9S\)，所以
\[
S'_n=(2n-1)\times 10^n-1-2\times\dfrac{10^n-10}{9}
\]
\(10^n\) 可以快速幂解决，而 \(\frac{1}{9}\) 可以求逆元得到。这样常数就降下来了，但复杂度还是 \(\Theta(T\log n)\)
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 233333, unit_mat[4][4] = {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}
, def_mat[4][4] = {{0, 0, 1, 0}, {10, 10, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 2, 0, 10}}, start[4][4] = {{9, 27, 0, 90}};
struct mat
{
ll a[4][4];
int l, w;
mat()
{
memset(a, 0, sizeof(a));
l = w = 0;
}
void setv(const int ppa[4][4], int lx, int wx)
{
l = lx, w = wx;
for (int i = 0; i < lx; i++)
for (int j = 0; j < wx; j++)
a[i][j] = ppa[i][j];
}
void setm(const mat& m)
{
l = m.l, w = m.w;
for (int i = 0; i < l; i++)
for (int j = 0; j < w; j++)
a[i][j] = m.a[i][j];
}
};
void mat_mul(const mat& au, const mat& bu, mat& cu)
{
cu.w = au.w, cu.l = bu.l;
for (int i = 0; i < bu.l; i++)
for (int j = 0; j < au.w; j++)
{
cu.a[i][j] = 0;
for (int k = 0; k < bu.w; k++)
cu.a[i][j] = (cu.a[i][j] + au.a[k][j] * bu.a[i][k]) % mod;
}
}
inline int read()
{
int ch = getchar(), n = 0, t = 1;
while (isspace(ch)) { ch = getchar(); }
if (ch == '-') { t = -1, ch = getchar(); }
while (isdigit(ch)) { n = n * 10 + ch - '0', ch = getchar(); }
return n * t;
}
int main()
{
int cas = read(), n, cur, pw;
mat ans, mul, sta, tmp;
while (cas--)
{
n = read();
pw = n / 2 + (n & 1);
mul.setv(def_mat, 4, 4);
sta.setv(unit_mat, 4, 4);
cur = 1;
while (cur <= pw)
{
if (cur & pw)
{
mat_mul(mul, sta, tmp);
sta.setm(tmp);
}
mat_mul(mul, mul, tmp);
mul.setm(tmp);
cur <<= 1;
}
tmp.setv(start, 1, 4);
mat_mul(sta, tmp, ans);
printf("%lld\n", ans.a[0][2]);
}
return 0;
}#include <cstdio>
#include <cctype>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 233333, nine_inv = ######; // 你想知道9的逆元？自己求去。
inline int read()
{
int ch = getchar(), n = 0, t = 1;
while (isspace(ch)) { ch = getchar(); }
if (ch == '-') { t = -1, ch = getchar(); }
while (isdigit(ch)) { n = n * 10 + ch - '0', ch = getchar(); }
return n * t;
}
int main()
{
int cas = read(), n, pw, cur;
ll mul, sta, ans;
while (cas--)
{
n = read();
pw = n / 2 + (n & 1), mul = 10, cur = 1, sta = 1, ans = -1;
while (cur <= pw)
{
if (cur & pw)
sta = (sta * mul) % mod;
mul = (mul * mul) % mod;
cur <<= 1;
}
ans = ((ans + (sta * (2 * pw - 1) % mod) - (((sta - 10 + mod) % mod) * nine_inv * 2 % mod)) + mod) % mod;
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}又是一道十分毒瘤的卡常题。
这道题最难的地方，也是最精妙的地方，就是这个裂项，把乘积形式变成和形式，最后通过快速幂解决问题。
考试时想到矩阵快速幂就以为完了，没想到这题这么卡常，虽然是一道练数学推导的好题。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/5ab-juruo/p/solution-20200225-bug.html
