二项式反演公式证明

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二项式反演

• 二项式反演（binomial inversion）可以表示成

$$f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}f(i)$$

• 另一种表示方法

$$f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\binom{n}{i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i)$$

• 证明

设$S$表示一个集合，$A_1$，$A_2$，...，$A_n$分别表示$S$中具有性质$P_1$，$P_2$，...，$P_n$的集合

根据容斥原理，不具有以上性质的元素组成的集合大小为

$$|\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap...\cap \overline{A_n} |=|S|-\sum|A_i|+\sum|A_i\cap A_j|+...+(-1)^n|A_1\cap A_2\cap ...\cap A_n| $$

假定同时有 $i$ 个不同性质的元素组成的集合大小都相同，设为$g(i)$
$$g(i)=|\underbrace{A_{a_1}\cap A_{a_2}\cap...\cap A_{a_i}}_{i}|$$

特别的，$g(0)=|S|$

则
$$|\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap...\cap \overline{A_n} |=g(0)-g(1)+g(2)+...+(-1)^ng(n)$$
$$=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}g(i)$$

设$f(i)$表示不具有前 $i$ 个性质的元素组成的集合大小
$$f(i)=|\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap...\cap \overline{A_i}|$$

特别的，$f(0)=|S|$

则
$$f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}g(i)$$

另一方面，根据容斥原理还可得

$$|A_1\cap A_2\cap...\cap A_n |=|S|-\sum|\overline{A_i}|+\sum|\overline{A_i}\cap \overline{A_j}|+...+(-1)^n|\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap ...\cap \overline{A_n}| $$
$$=f(0)-f(1)+f(2)+...+(-1)^nf(n)$$
$$=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}f(i)$$

则
$$g(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}f(i)$$

得证 .

对于二项式反演的第二种形式

同样的，假定含 $i$ 种不同的性质，不含其它 $n-i$ 种性质的 $S$ 中元素组成的集合的大小都相等，设为 $g(i)$
$$g(i)=|\overline{A_{a_1}}\cap ...\cap\overline{A_{a_i}}\cap A_{a_{i+1}}\cap...\cap A_{a_n}|$$

$f(i)$则表示含有 $i$ 种不同性质，其它性质可有可无的元素组成的集合的大小

同理可证得结论

二项式反演公式证明

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