四边形不等式优化

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在一些动态规划中状态转移方程是这样的：

　　　　　　　　$m[i,j]=\min_{i < k \leq j}\left \{ m[i,k-1]+m[k,j]+c[i,j] \right \}$

显而易见，这种方法的时间复杂度是$O(n^{3})$，如何去优化呢？

四边形不等式

通过四边形不等式的优化，可以进一步限定$k$的范围，从而可以将事件复杂度降为 $O(n^{2})$，我们最终的目的是证明决策变量$k$的单调性

此优化方法由姚期智的夫人储枫(Frances Yao)所写，我看的有点懵

算法相关论文地址：论文

价值函数$c[i][j]$

　　　　　　$c[b,c]\leq c[a,d],\left \{ a\leq b\leq c\leq d \right \}  \dots \dots\dots(1)$

满足公式(1)，则说明价值函数$w[i][j]$满足区间单调性

　　　　　　$c[a,c]+c[b,d]\leq c[b,c]+c[a,d],\left \{ a\leq b\leq c\leq d \right \}  \dots \dots\dots(2)$

满足公式(2)，则说明价值函数$w[i][j]$满足四边形不等式

状态转移函数$m[i][j]$

假如有$w[i][j]$同时满足公式(1)、(2)，我们可以得到这里的$m[i][j]$也满足四边形不等式，即：

　　　　　　$m[a,c]+m[b,d]\leq m[b,c]+m[a,d],\left \{ a\leq b\leq c\leq d \right \}  \dots \dots\dots(3)$

论文中是用数学归纳法证明的，相关参考证明过程可参考论文

这里给出我的一种理解，用分析法来思考问题，有可能会不严谨。

对于$m[i][j]$假如我们每次选最优的$k$不断向下拆解，即$m[i][j]=m[i][k-1]+m[k][j]+c[i][j]$，直到拆解成$m[i][i]$

那么对于两边的$c$数组我总能用公式(2)得到不等式的关系，而$m[i][i]$为0，这样公式(3)就是满足的

决策变量的单调性

我们用$k[i,j]$表示$m[i][j]$取得最小值时的决策值

当状态转移函数$m[i][j]$满足(3)的时候，我们有：

　　　　　　　　$k[i,j-1]\leq k[i][j]\leq k[i+1,j] \dots \dots\dots(4)$

根据对称性只需要证明$k[i,j-1]\leq k[i][j]$，假设$x=k[i,j-1]$，对任意$i < y\leq x\leq j-1<j$：

　　　　$m[y,j-1]+m[x,j] \leq m[y,j]+m[x,j-1],\left \{ y \leq x\leq j-1 < j \right \}$

不等式两侧同时加上：

　　　　　　$w[i,j-1]+w[i,j]+m[i,x-1]+m[i,y-1]$

然后有：

　　　　　　$m_{y}[i,j-1]+m_{x}[i,j] \leq m_{y}[i,j]+m_{x}[i,j-1]$

因为：

　　　　　　　　$m_{x}[i,j-1] \leq m_{y}[i,j-1]$

所以：

　　　　　　　　$m_{x}[i,j] \leq m_{y}[i,j]$

从而可以确定$k[i][j]$不可能小于$x$，也就是说$k[i,j-1] \leq k[i,j]$

 Refence:

https://www.dazhuanlan.com/2019/12/08/5dece566e5980/ 

https://www.luogu.com.cn/problemnew/solution/P1880?page=1

四边形不等式优化

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原文地址：https://www.cnblogs.com/wizarderror/p/12386548.html