标签：占用 row 快速 style base 测试 close mic inf
这个题其实很简单，简单分析一下规律，发现发f[i]=f[i-1]+f[i-2]。
如下图：
程序：
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int main() 4 { 5 int n,i,j,a[101]; 6 cin>>n; 7 a[1]=1;a[2]=2; 8 for (i=3;i<=n;i++) 9 { 10 a[i]=a[i-1]+a[i-2]; 11 } 12 cout<<a[n]; 13 }
用这个代码，解决这个题的确很轻松。
可是只要稍微更改一下数据范围，就完全不一样了：
这样子，难度就完全不是一个等级了。
首先是不能开一个1000000000000000000的数组，那样肯定会爆内存。
我们可以用滚动的数组：
1 1 #include<bits/stdc++.h> 2 2 #define mod 1e9+7 3 3 4 4 using namespace std; 5 5 6 6 long long a[4] = {0,1,2}; 7 7 8 8 int main() 9 9 { 10 10 freopen("brick.in", "r", stdin); 11 11 freopen("brick.out", "w", stdout); 12 12 int fbk; 13 13 cin >> fbk; 14 14 if (fbk==1) 15 15 { 16 16 cout << 1; 17 17 } 18 18 else if (fbk==2) 19 19 { 20 20 cout << 2; 21 21 } 22 22 else 23 23 { 24 24 for (int yousa = 3; yousa <= fbk-2; yousa++) 25 25 { 26 26 a[3] = (a[2] + a[1])%(long long)(mod); 27 27 a[1] = a[2]; 28 28 a[2] = a[3]; 29 29 } 30 30 cout << a[3] << "\n"; 31 31 } 32 32 33 33 fclose(stdin); 34 34 fclose(stdout); 35 35 }
测试之后发现虽然内存占用很少，但是会超时。
这就用到我们的矩阵加速了：
矩阵乘法可以先稍作了解，知道矩阵相乘的运算法则
快速幂要求解的是这样一类问题：
给你A,B,C，求A的B次方模C的余数
A,C<=10^9,B<=10^18
如果我们线性去求，时间复杂度是O（n）的，但题目中给出的B是很大的数，这样显然会超时,我们可以用快速幂来加速这个过程。
我们可以想像一下小学的时候我们如何计算2^16
2^16=4^8=16^4=256^2=65536
那如何计算2^18呢？
快速幂同理也是如此
我们可以按照上面做法，利用分治的思想求去解
这样原本O(n)的时间复杂度便降到了O(log n )
1 long long ans=1,base=a; 2 while(n>0){ 3 if(n&1){ 4 ans*=base; 5 } 6 base*=base; 7 n=n/2; 8 }
矩阵快速幂的原理同快速幂一样，只是转换为了矩阵之间的乘法操作
所以单纯的重载一下运算符(写成函数的形式也可），将普通的乘法转换为矩阵乘法就好了。
知道那个叫矩阵快速幂的东西后我们可以学矩阵加速了
斐波那契数列中的每一项都是前两项之和
我们考虑构造这么一个矩阵：每一次乘上这个矩阵都能从f[n-1],f[n-2]两项向后递推到f[n-1],f[n]这两项
那么关键就是如何构造这样的矩阵
对于这样一个矩阵我们有
所以我们将每一次两项相加转换为了乘以一个转移矩阵
既然是乘法，每次乘以的也是同一个矩阵
我们可以利用矩阵快速幂的思想对于求解斐波那契数列加速
代码实现基本上是一致的，只需要构造一个转移矩阵来进行状态之间的转移即可
1 struct mat{ 2 ll m[5][5]; 3 }a,ans; 4 ll n,b,k; 5 mat mul(mat x,mat y,int flag){ 6 mat c; 7 for(int i=1;i<=2;i++) 8 for(int j=1;j<=2;j++) 9 c.m[i][j]=0; 10 for(int i=1;i<=2;i++){ 11 for(int j=1;j<=2;j++){ 12 for(int q=1;q<=2;q++){ 13 c.m[i][j]=(c.m[i][j]+x.m[i][q]*y.m[q][j])%Mod; 14 15 } 16 } 17 } 18 return c; 19 } 20 int main(){ 21 cin >> n; 22 a.m[1][1]=1;a.m[1][2]=1; 23 a.m[2][1]=1;a.m[2][2]=0; 24 b=n-2; 25 ans.m[1][1]=1; 26 ans.m[1][2]=1; 27 while(b){ 28 if(b&1){ 29 ans=mul(ans,a,1); 30 } 31 a=mul(a,a,2); 32 b=b/2; 33 } 34 if(n==1||n==2)cout<<1; 35 else cout<<ans.m[1][1]%Mod; 36 }
这样这个题就被解决了！
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原文地址：https://www.cnblogs.com/arknight/p/12400709.html
