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【物理】电场的力和能的性质

时间:2020-03-05 01:36:56      阅读:140      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:移动   叠加   iii   观察者   常用   高考   over   需要   end   

前言

? 本文主要讲解处理高考物理中电场相关问题的方法,并给出例题示范。可能讲的比较简单,希望能起到抛砖引玉的作用。本文会对静电场的概念和公式进行梳理,并给出在考题中的应用。

概念和公式

电场强度和电场力

概念

? 电场是存在于电荷周围能传递电荷与电荷之间相互作用的物理场。在电荷周围总有电场存在;同时电场对场中其他电荷发生力的作用。观察者相对于电荷静止时所观察到的场称为静电场。 (维基百科)

? 电场力是当电荷置于电场中所受到的作用力。或是在电场中为移动自由电荷所施加的作用力。其大小可由库仑定律得出。当有多个电荷同时作用时,其大小及方向遵循矢量运算规则。 (维基百科)

? 从上述维基百科的解释,我们可以粗略的得出以下结论:

  • 电场是客观存在的物质;

  • 电场力是一种以电场为施力物体的作用力;

  • 电场力大小由得出库仑定律;

  • 既然是力,那么自然遵从力的矢量合成法则。

公式

  • 公式 \(\rm{I}\) (库仑定律)

    \[ F=k{q_1q_2\over r^2} \]
    ? 其中 \(q_1,q_2\) 表示两个点电荷的电量,\(r\) 表示距离,\(k\) 是静电力常数,约等于 \(9\times10^9 N\cdot m^2\cdot C^{-2}\)

  • 公式 \(\rm{II}\)
    \[ E={F\over q} \]
    ? 这便是电场强度 \(E\) 的比值定义式,与电场力和试探电荷电量均无关。联立 \({\rm I},{\rm II}\) 可以解得\(\displaystyle E=k{q\over r^2}\)

  • 公式 \(\rm III\) (电场叠加原理)
    \[ {\bold E}= {\sum_i} {\bold E_i}={\bold E_1}+{\bold E_2}+{\bold E_3}+\cdots \]
    ? 电场强度和电场力一样,都是矢量,故满足矢量合成法则。高考中虽然说的是只限于勾股定理的矢量合成,但是,余弦定理也是能强行导出来的嘛(逃)。

电势和电势能

概念

? 假设检验电荷从无穷远位置,经过任意路径,克服电场力,缓慢地移动到某位置,则在这位置的电势,等于因迁移所做的机械功与检验电荷量的比值。 (维基百科)

? 在静电学里,电势能是处于电场的电荷分布所具有的势能,与电荷分布在系统内部的组态有关。 (维基百科)

? 不难发现,由于电场的存在,电荷在某一电势中,对外表现出电势能。电势能与引力势能相同,是一个相对的量,人为设定零势能。电势与电势能均为标量,满足代数运算法则。

公式

  • 公式 \(\rm{I}\)
    \[ E_p=\varphi q \]
    ? 其中 \(\varphi\) 表示电势,\(q\) 表示点电荷电量,\(E_p\) 表示该点电荷表现出的电势能。

  • 公式 \(\rm II\)
    \[ \varphi = k{q\over r} \]
    ? 上式为某一电量为 \(q\) 的点电荷,若设定无穷远为零势能,在距离 \(r\) 的电势。这条公式在课本里没有推导,但在题目中比较常用,个人给出以下推导:

    ? 设 \(q_1\) 为中心电荷,\(q_2\) 为试探电荷,求 \(q_2\)\(r\) 位置的电势。
    \[ \begin{align*} \varphi&={\displaystyle \int_r^{+\infty} k{q_1q_2\over x^2}{\rm d}x\over q_2}\&=kq_1\int_r^{+\infty}{1\over x^2}{\rm d}x\&=kq_1{\big (}0-(-{1\over r}){\big)}\&=k{q_1\over r} \end{align*} \]

  • 公式 \(\rm III\)
    \[ U=-\Delta\varphi \]
    ? \(U\) 是一个过程量,表示电势差。\(\varphi\) 是一个状态量,而 \(\Delta \varphi\) 便表示它的变化量。注意区分 \(U\)\(\varphi\)

    ? 相应的,我们也有 \(W=-\Delta E_p\),我们可以通过本式同除以 \(q\) 得到上式。

电场强度、电场力与电势、电势能之间的关系

? 一般的,我们有下列公式:
\[ \begin{cases} U =Ed\F =Eq\W =Uq\W =Fd \end{cases} \]
? 下图是一个直观展示上面四个量关系的图

技术图片

? 想必上图已经相当清楚得描述了这四个量之间的相对关系了。特别指出,\(U,W\) 是两个过程量,相对的状态量为 \(\varphi,E_p\)。那么到现在,关于静电场的基本公式已梳理完毕。

一些深入的理解

? 读者是否还记得“电场线”和“等势线”的概念?电场线是用来描述电场的,等势线是用来描述电势的,它们的几何关系是等势线垂直电势。

? 假设 \({\rm d}x\) 是很小的一段位移,而 \(d\varphi\) 是该段位移的电势变化量,设 \(U\) 为该位移的电势差,我们有
\[ \begin{align*} E&= {U\over {\rm d} x}\&= -{{\rm d}\varphi\over {\rm d}x} \end{align*} \]
? 我们先不管正负号的问题。不难发现,如果作出 \(\varphi-x\) 的图像,那么电场强度 \(E\) 的大小便是 \(\varphi\)\(x\) 的导数的绝对值,相反的,\(E\)\(x\) 求积分便得到 \(\varphi\)。 于是我们从理论上证到了,\(\varphi-x\) 曲线在某位置斜率越大,那么该位置电场强度越大。

? 如果把电势能比喻成重力势能,那么等势线就可以想象成地理中的等高线,电场线所指的方向,其实就是一个小物体在山坡上的下滑方向。于是,我们得到 \(\varphi-x\) 甚至是 \(\varphi-x,y\) 的图像后,顺着斜坡的方向便是电场方向。

? 下图就是一个正点电荷的二维电场的图像,方程为 \(\displaystyle \varphi=k{q\over \sqrt{x^2+y^2}}\) 。看上去像是一个“空间反比例函数”。

技术图片

? 我们知道,电势是标量,那么如果有多个点电荷,它们在空间产生的电势是直接相加的。而电场强度是标量,所以是矢量相加的。下图是一个正点电荷和一个负点电荷在二维平面上产生的电场图像。

技术图片

? 平时如果遇到图像题,可能是 \(E_p-x,v-x,\varphi-x,E-x\) 等的图像,其实道理都差不多。而做比较电场强度和电势大小的题,有时脑海中有图像会让问题清晰很多。

例题和题解

  • 在真空中 \(x\) 轴上的原点处和 \(x=6a\) 处分别固定一个点电荷 M、N,在 \(x=2a\) 处由静止释放一个正点电荷 P ,假设点电荷 P 只受电场力作用沿 \(x\) 轴运动,得到点电荷 P 速度大小与其在 \(x\) 轴上的位置关系如图所示(其中在 \(x=4a\) 处速度最大),则下列说法正确的是 (  )

技术图片

A. 点电荷 M、N 一定都为负电荷

B. 点电荷 M、N 一定为异种电荷

C. 点电荷 M、N 所带电荷量的绝对值之比为 \(4∶1\)

D. \(x=4a\) 处的电场强度不一定为零

? 这是一道典型的图像题。题目给的是 \(v-x\) 图像,但由 \(\displaystyle {E_k={1\over 2}mv^2}\) ,我们发现 \(E_k-x\) 的图像增减性与上图相同。由因为该点电荷只受电场力作用,故我们得到 \(E_k+E_p\) 的值不变,于是,\(E_p\) 增减性与上图相反,由因为正电荷,\(\varphi\) 增减性与上图相反。根据以上分析,我们可以画出 \(\varphi-x\) 的图像了。

? 绘制出图像发现是一个向下凹的曲线。我们已经梳理过分析电势叠加的方法,要生成该曲线,显然需要两个正点电荷,故 \(\rm A,B\) 错误。由于在 \(x=4a\) 点,曲线的斜率为 \(0\),故我们得到该点电场强度为 \(0\),由库仑定律得 \(\displaystyle k{q_M\over (4a)^2}=k{q_N\over (6a-4a)^2}\),解得 \(q_M:q_N=4:1\)。故 \(\rm C\) 正确,\(\rm D\) 错误。

  • (多选)如图所示,在平面直角坐标系 \(xOy\)\((-9,0),(9,0)\) 两点处固定着电荷量分别为 \(+q,-4q\) 的两个点电荷,\(A,B\)\(y\) 轴上两点,坐标分别为 \((0,1),(0,-5)\),M、N、P、Q四个点是以正点电荷为中心的正方形的四个顶点。在上述两个点电荷所形成的电场中,下列说法正确的是 (  )

技术图片

A. \(x=-3{\rm cm}\) 处的电场强度为 \(0\)

B. B点的电势高于A点的电势,A点的电场强度大于B点的电场强度

C. N点的电势与Q点的电势相等

D. 将某一正电荷从N点移动到M点电场力所做的功小于将其从P点移动到Q点电场力所做的功

? 注意电场强度是一个矢量,而电势是标量,结合 \(\displaystyle F=k{q_1q_2\over r^2}\) 以及 \(\displaystyle \varphi=k{q\over r}\) 这两条式子可以得到选项A、C是错误的。

? A点与B点相比,不仅受到两个点电荷的电场强度都大,而且夹角还更小,故合称得的总电场强度一定更大。对于电势大小,有两种分析方法:令无穷远为零电势,A点离两个点电荷距离相同,但 \(-4q\) 的电荷量绝对值要更大一些,故A点电势为负值,而 \(B\) 点离两点电荷的距离是等比例的变大的,故B点电势大于A点电势;或者你发现 \(-4q\) 的电荷量绝对值大,那么它对等势线的影响肯定是更大的,故过A、B的等势线为向右开口的曲线,能得到同样的结论。故B是正确的。

? D项中,由于对称性,两次移动中 \(+q\) 作的功是一样的,故只看 \(-4q\) ,比较显然,由于第一次移动时离 \(-4q\) 的距离没有第二次近,故第一次平均电场力大,而移动距离相同,于是D项正确。

? 当初做这题的时候,我发现了一个结论。令无穷远处电势为零,电势能为零的电势线是什么形状的?

? 我们用 \(q_1,q_2\) 表示两个点电荷,\(r_1,r_2\) 分别表示点离两点电荷的距离,电势能为零的点满足以下条件。
\[ k{q_1\over r_1}+k{q_2\over r_2}=0 \]
? 化简得 \(\displaystyle {r_1\over r_2}=-{q_1\over q_2}\),在 \(q_1,q_2\) 为异种电荷,且电荷量不相等的情况下。这条表达式,竟然是圆的第二定义,也就是阿氏圆。

? 于是,经过稍稍拓展之后,我出了下面这道题(可能会有没考虑到的地方):

  • 空间中有两个点电荷 \(q_1,q_2\) ,该空间的等势面中存在且仅存在一个球面,且该球面的直径与 \(q_1,q_2\) 的距离相等,求 \(q_1\)\(q_2\) 电荷量之比(假设 \(|q_1|>|q_2|\))。

? 大概说一下思路吧。首先,拍扁成二维平面,原题等价于该平面的等势线中存在且仅存在一个圆,且该圆的直径与 \(q_1,q_2\) 距离相等。然后,由上述的结论可得,设 \(\displaystyle \lambda ={r_1\over r_2}\) ,原题所求的 \(\displaystyle {q_1\over q_2}\) 之比其实就是 \(-\lambda\) 。通过设一些长度,我们可以解方程解得 \(\lambda=\sqrt2+1\),于是我们得到原题答案为 \(-\sqrt2 -1\)

? 然后我问了班上的一个物竞生,他知道这个东西,并且告诉我,圆心与两点电荷连线长度的乘积等于半径的平方。我试了一下,确实是这样的,可能这个结论能用在以后的数学题里吧?

总结

? 感觉电场出的选择题还是挺多的,但如果能把握好概念,理解较深入,还是能比较快的写出来的。嘛,还是得多做题,总结就复习的时候看看得了。

【物理】电场的力和能的性质

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原文地址:https://www.cnblogs.com/Paulliant/p/12416989.html

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