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差分数组在acm中有很广泛的应用。对于原数组a：1 2 3 5 5，其差分数组就是sub：1 1 1 2 0，即每一项与前一项的差。其性质有：
对于上述第三条性质，如果是离线维护区间加等比数列的问题，即执行完所有的修改操作，然后求原数组或者数组中某一项。就可以使用二阶差分，每次操作给出l、r、a、k表示从l到r依次加上一个首项为a，公差为k的等差数列。维护二阶差分数组d2代码如下：
void add(int l,int r,int a,int k){ d2[l]+=a; d2[l+1]+=k-a; d2[r+1]-=(r-l+1)*k+a; d2[r+2]-=(l-r)*k-a; }
求前缀和的操作如下：
void pre_sum(){ for(int i=1;i<=n;++i) { d2[i]+=d2[i-1]; } }
因此还原数组的操作：
pre_sum();
pre_sum();
离线操作的话复杂度即O(m)。（m为操作次数）
如果对于第三条性质，是在线操作，即需要修改的同时查询数组中某一项的值，可以直接使用第三条性质所述的维护一阶差分数组，查询即求前缀和。用线段树来维护。复杂度O(mlogn)，m是操作次数，n为数组大小。比如luogu1438：
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int maxn=1e5+5; int n,m,a[maxn],sub[maxn]; int tr[maxn<<2],lz[maxn<<2]; void pushup(int u){ tr[u]=tr[u<<1]+tr[u<<1|1]; } void pushdown(int u,int l,int r){ int mid=(l+r)>>1; tr[u<<1]+=lz[u]*(mid-l+1); lz[u<<1]+=lz[u]; tr[u<<1|1]+=lz[u]*(r-mid); lz[u<<1|1]+=lz[u]; lz[u]=0; } void build(int u,int l,int r){ if(l==r){ tr[u]=sub[l]; return; } int mid=(l+r)>>1; build(u<<1,l,mid); build(u<<1|1,mid+1,r); pushup(u); } void update(int u,int l,int r,int L,int R,int v){ if(l>=L&&r<=R){ tr[u]+=v*(r-l+1); lz[u]+=v; return; } if(lz[u]) pushdown(u,l,r); int mid=(l+r)>>1; if(L<=mid) update(u<<1,l,mid,L,R,v); if(R>mid) update(u<<1|1,mid+1,r,L,R,v); pushup(u); } int query(int u,int l,int r,int L,int R){ if(l>=L&&r<=R){ return tr[u]; } if(lz[u]) pushdown(u,l,r); int ret=0,mid=(l+r)>>1; if(L<=mid) ret+=query(u<<1,l,mid,L,R); if(R>mid) ret+=query(u<<1|1,mid+1,r,L,R); pushup(u); return ret; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]); for(int i=1;i<=n;++i) sub[i]=a[i]-a[i-1]; build(1,1,n); while(m--){ int op,l,r,k,d,p; scanf("%d",&op); if(op==1){ scanf("%d%d%d%d",&l,&r,&k,&d); update(1,1,n,l,l,k); if(r>l) update(1,1,n,l+1,r,d); if(r!=n) update(1,1,n,r+1,r+1,-k-(r-l)*d); } else{ scanf("%d",&p); printf("%d\n",query(1,1,n,1,p)); } } return 0; }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/FrankChen831X/p/12427963.html
