数据结构之树

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本质问题

树不是线性表，是一种描述非线性层次关系的数据结构。描述的是一对多的数据结构。

1. 树的定义

树(Tree)的基本概念
树是由结点或顶点和边组成的(可能是非线性的)且不存在着任何环的一种数据结构。没有结点的树称为空(null或empty)树。一棵非空的树包括一个根结点，还(很可能)有多个附加结点，所有结点构成一个多级分层结构。

2. 基本特征

• 有且仅有一个结点没有直接前驱，那就是根节点。
• 除了根结点外，其他结点有且仅有一个直接前驱。

• 每个结点可以有任意后继结点。

  3. 基本概念

• 兄弟结点——拥有同一个父结点的结点。
• 孩子、双亲——结点的子树的根称为该节点的孩子，相应地，该节点称为孩子的双亲。
• 结点的度——一个结点所包含子树的数量。
• 树的度——该树所有结点中最大的度。
• 叶子结点——树中度为零的结点，也叫终端结点。
• 结点的层数——从根结点开始算，根结点是第一层，依次往下。
• 树的深度——树中结点的最大层数
• 有序树——树中的各结点的子树（兄弟结点） 从左到右按一定次序去排列的树。

• 森林——m(m>=0)棵互不相交的树的集合。

  4. 树的种类

• 无序树：树中任意节点的子结点之间没有顺序关系，这种树称为无序树,也称为自由树;
• 有序树：树中任意节点的子结点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
• 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
  • 完全二叉树
  • 满二叉树
  • 斜树
  • 平衡二叉树
• 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
  #### 5. 二叉树
• 特点:
  • 每个结点最多只有两个子结点，可以没有或者只有一个。
  • 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
• 分类：
  • 斜树：所有节点都只有左子树的二叉树叫做左斜树，所有节点都只有右节点的二叉树叫做右斜树，这两者统称为斜树。
  • 满二叉树：除了最下面一层的叶子结点外，其他结点都有两个子结点；

  • 完全二叉树：除了最下面一层的叶子结点外，其他各层结点数达到最大个数，而且最后一层叶子结点按照从左到右的顺序连续存在，只缺最后一层若干结点；

    6. 二叉树的性质

• 性质1：在二叉树的第i层上至多有2^i^-1个节点(i >= 1)

• 性质2：深度为k的二叉树至多有2^k^-1个节点(k >=1)

• 性质3：对于任意一棵二叉树T而言，其叶子节点数目为N~0~,度为2的节点数目为N~2~，则有N~0~ = N~2~ + 1。

• 性质4：具有n个节点的完全二叉树的深度(log~2~n)+1(括号内的值取下限)。

• 性质5：一棵完全二叉树，其深度为，节点编号按层编号，每层从左至右编号，则对任意节点i(1<= i <= n)
  • （1） 如果i = 1，则该点为根节点，无双亲，否则其双亲为(i/2)(括号内的值取下限)；
  • （2） 如果2i>0，则该点无左孩子（节点为叶子节点），否则其左孩子为2i;

  • （3） 如果2i+1，则该点无右孩子，否则其左孩子为2i+1;

    7. 存储方式

• 二叉树的顺序存储结构：
  • 二叉树的顺序存储结构用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要体现出结点之间的逻辑关系。
  • 就是从根结点开始一层层地按顺序存储在数组里，但是只适用于完全二叉树，因为非完全二叉树的话，可能会浪费大量的存储空间。
  • 代码实现
• 二叉链表：
  • 因为二叉树最多有两个孩子，所以二叉链表拥有一个数据域和两个指针域。
  • 如果有需要还可以再增加一个指向其双亲的指针域，那就称为三叉链表。

  • 代码实现

    8. 二叉树的遍历

• 先序：先访问根结点，后是左子树，到右子树；
• 中序：先左子树，后根结点，最后是右子树；
• 后序：先左子树，后右子树，最后根结点；

• 层序：从上到下，从左到右依次遍历每一层中的每一个节点。

数据结构之树

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