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莫比乌斯反演的原理

由定义，对于两个积性函数 \(\boldsymbol f,\boldsymbol g\) 若满足 \(\displaystyle \boldsymbol g(n)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol f(d)\)

则根据 \(\boldsymbol g=\boldsymbol f*\boldsymbol I\) 反推出 \(\boldsymbol f=\boldsymbol g*\boldsymbol \mu\)

从而有 \(\displaystyle \boldsymbol f(n)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol g(d)\cdot \boldsymbol \mu({n\over d})\)

当然，本人更爱使用元函数的反演法，即将式子中化简出 \([n=1]\) 项，再通过 \(\displaystyle [n=1]=\boldsymbol \varepsilon(n)=(\boldsymbol \mu*\boldsymbol I)(n)=\sum_{d\mid n}\boldsymbol \mu(n)\) 反演出结果

莫比乌斯反演

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原文地址：https://www.cnblogs.com/JustinRochester/p/12491411.html