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四个基本空间

时间:2020-03-14 13:07:58      阅读:96      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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概述

讨论矩阵的四个基本子空间,通过维数和基来深入了解四个子空间。

列空间

列空间我们都熟悉了,就是矩阵列线性组合组成的空间。

  • 位于: \(R^m\)空间
  • 维数:r
  • 一组基:主元列

零空间

零空间也并不陌生,使\(Ax=0\)的所有x组成的空间

  • 位于: \(R^n\)空间
  • 维数: n-r
  • 一组基: 特解

行空间

行空间可以看作\(A^T\)的列空间

一个有趣的性质是一个矩阵的秩如果是r,那么它的转置的秩也是R,所以行空间的维数得到了。是m-r

从基的定义我们知道,对于行空间的一组基,其实就是那些线性无关行组成的集合,那不正是简化行阶梯型(rref)中的非零行嘛,也就是前r行。

  • 位于: \(R^n\)空间
  • 维数: r
  • 一组基: rref中的前r行

左零空间

左零空间是行空间的零空间,也可以看作\(A^T\)的零空间,也就是使得\(A^Ty=0\)的所有y组成的空间

为啥叫左零空间??因为\(A^Ty=0\)可以看作\((A^Ty)^T=0^T\),也就是\(y^TA=0\)

再重复一遍这个公式:\(y^TA=0\)

嘶根据矩阵的乘法规则,那\(y^T\)不就是简化行阶梯中的零行所对应消元矩阵嘛的行嘛。

所以用高斯若尔当法求出消元矩阵,再取后m-r行就可以了嘛。。。

  • 位于: \(R^m\)空间
  • 维数: m-r
  • 一组基:A消元矩阵的后m-r行

参考资料

MIT线性代数公开课 p10 - bilibili

四个基本空间

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原文地址:https://www.cnblogs.com/lilpig/p/12491255.html

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