例谈数学的积累

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博文由来

在最近的组卷中，看到这样一个题目[来源于数学难卷]，大概思考了其解法过程，颇有感触，作以记录；

案例[高中]若命题\(“\exists x\in (0,2]\)，不等式\(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})<0”\)为假命题，则实数\(a\)的取值范围是【】

解题过程

分析：由于命题\(“\exists x\in (0,2]\)，不等式\(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})<0”\)为假命题，

则上述命题的否定[不是否命题]一定为真命题；

即命题\(“\forall x\in (0,2]\)，不等式\(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})\geqslant 0”\)为真命题，

即不等式\(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})\geqslant 0\)对\(\forall x\in (0,2]\)恒成立，

〔这样我们自然会思考，如果能分离参数\(a\)，则接下来问题的求解就顺的多了，观察发现，可以考虑使用换元法〕

令\(e^x-e^{-x}=t\)，则由\(y=e^x-e^{-x}\)在\(x\in (0,2]\)上是增函数，可知\(t\in (0,e^2-e^{-2}]\)，

又由于\((e^x-e^{-x})^2=t^2\)，即\(e^{2x}-2+e^{-2x}=t^2\)，则\(e^{2x}+e^{-2x}=t^2+2\)，

这样问题转化为\(t^2+2-at\geqslant 0\)对\(t\in (0,e^2-e^{-2}]\)恒成立，

分离参数得到，\(a\leqslant \cfrac{t^2+2}{t}=t+\cfrac{2}{t}\)对\(t\in (0,e^2-e^{-2}]\)恒成立，

令\(g(t)=t+\cfrac{2}{t}\)，则需要求在\(t\in (0,e^2-e^{-2}]\)上的\(g(t)_{min}\)；

由于\(g'(t)=1-\cfrac{2}{t^2}\)，故当\(t\in (0,\sqrt{2}]\)时，\(g'(t)<0\)，函数\(g(t)\)单调递减；

当\(t\in [\sqrt{2}，2\sqrt{2})\)时，\(g'(t)>0\)，函数\(g(t)\)单调递增；

故当\(t\in (0,e^2-e^{-2}]\)时，\(g(t)_{min}=g(\sqrt{2})=2\sqrt{2}\)，

则\(a\leqslant 2\sqrt{2}\)，即选\(B\).

需要积累

以下内容是顺利解决此问题需要的最少储备，用相关的关键词，你可以在本博客中继续搜索，深入学习；

①命题的真假判断和转化，命题的否定；

②换元法，题目求解中为什么需要换元法，如何换元，平时如何积累；

引例[这样的题目初中练习的肯定不少]已知\(x+x^{-1}=3\)，求值：

③恒成立模型和恒成立命题，哪些命题都可以转化为恒成立命题，转化后如何求解；

④分离参数法，为什么要分离参数，如何分离参数，；

⑤常用函数的积累，哪些函数是比较常用的函数，都需要积累函数的声明性质，如何积累；

\(h(x)=e^x\pm e^{-x}\)的奇偶性和单调性以及图像；\(f(x)=x\pm \cfrac{k}{x}(k>0)\)的奇偶性和单调性以及图像；

难易转化

以下的题目是按照函数的难以程度，题目涉及到的知识点的多少排列，其求解难度也是由易到难；

引例1[高一新课使用]已知函数\(f(x)=x+\cfrac{2}{x}\)，\(x\in (0,4)\)，求函数\(f(x)\)的最小值；

引例2[高一新课使用]已知函数\(f(x)=x+\cfrac{2}{x}\)，\(x\in [\cfrac{1}{4},3]\)，求函数\(f(x)\)的最值；

引例3[高一高二使用]已知函数\(f(x)=x^2+\cfrac{2}{x^2}\)，\(x\in (0,\sqrt{2})\)，求函数\(f(x)\)的最小值；

引例4[高三一轮使用]已知函数\(f(x)=x^2-ax+2>0\)在\(x\in (0,\sqrt{2})\)上恒成立，求参数\(a\)的取值范围；

引例5[高三专题使用]若命题“当\(x\in (0,\sqrt{2})\)时，函数\(f(x)=x^2-ax+2>0\)为真命题”，求参数\(a\)的取值范围；

引例6[高三专题使用]若命题“\(\exists x\in (0,\sqrt{2})\)时，函数\(f(x)=x^2-ax+2\leqslant 0\)为假命题”，求参数\(a\)的取值范围；

引例7[高三专题使用]若命题“当\(x\in (0,\sqrt{2})\)时，函数\(f(x)=x^2-ax+2>0\)为假命题”，求参数\(a\)的取值范围；

引例8[高考模拟使用]若命题\(“\exists x\in (0,2]\)，不等式\(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})<0”\)为假命题，求参数\(a\)的取值范围；

引例9[高考模拟使用]若命题\(“\exists x\in (1,2]\)，不等式\(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x+e^{-x})<0”\)为假命题，求参数\(a\)的取值范围；

例谈数学的积累

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原文地址：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/12502929.html