标签：三次 计算 概率 就是 不同的 过程 并且 角度 坐标
题目描述
给定在笛卡尔坐标系的单位圆上的\(N\)个点（圆心为\((0, 0)\))。第\(i\)个点的坐标为\((cos(\frac{2 \pi T_i}{L}), sin(\frac{2 \pi T_i}{L}))\)。
三个不同的点将在这\(N\)个点中等概率的随机，请求出这三个点构成的三角形的内切圆圆心的\(x\)坐标的数学期望和\(y\)坐标的数学期望。
约束条件
\(3 \leq N \leq 3000\)
\(N \leq L \leq 10^9\)
\(0 \leq T_i \leq L - 1\)
\(T_i < T_{i+1}\)
所有的输入的数都是整数。
测试点时间限制:4s
测试点空间限制:1024MB
题目解答
解题过程
首先，我们考虑一种内心的刻画方法（这种刻画方法在数学竞赛中被称为"鸡爪定理")。
设\(\triangle ABC\) 的内心为\(I\)，\(AI\)与\(\triangle\) \(ABC\)的外接圆交于另一点\(M\)，则\(BM = CM = IM\) 。
证明：由于$ \angle BAM = \angle CAM\(，故\) \angle BCM = \angle CBM\(，所以\)BM = CM\(。又因为\)\angle IBM = \angle CBM + \angle IBC = \frac{1}{2}(\angle CAB + \angle ABC) = \angle MAB + \angle ABI = \angle BIM\(，所以\)BM = MI$
（之后看这张图的时候\(B,C\)可能需要互换一下）
这样，如果我们固定了\(B,C\)两点，以及\(A\)在\(B,C\)与圆的哪一段弧上，我们就可以得到弧\(BC\)的中点\(M\)（\(M\)与\(A\)在\(BC\)异侧）。我们不能枚举\(A\)点，但是我们将\(I\)刻画为:\(M + (B - M) \cdot e^{i \angle AMB}\)。（解释：\((I - M) = (B - M) \cdot (\cos \angle AMB + i \sin \angle AMB)\)）（这里我们使用了复平面的工具），那么\(M\)是固定的,\(B - M\)是固定的（即与\(A\)无关）。要求所有\(I\)的坐标之和，只需要知道\(e^{i \angle AMB}\)的和。虽然这个式子与\(A,B\)有关，但是与\(M,C\)均无关（圆周角相等）。
因此，我们先枚举\(B\)，接着逆时针顺序枚举\(C\)，在枚举的过程中顺便维护
<1> 从\(B\)逆时针到\(C\)的点\(A\)的数目。
<2> 对于从\(B\)逆时针到\(C\)经过的点\(A\)，维护\(e^{i \angle AMB}\)的和（这个和与\(M\)的位置是无关的）。
如果我们固定了\(B,C\)的话，以及\(A\)在\(B,C\)与圆的哪一段弧上,可以算出\(M\)的值，也可以算出\(M\)对答案的贡献的次数。同时，\(B - M\)对每一个\(A\)是一样的，而\(e^{i \angle AMB}\)的和又是被维护出来的。这样，我们就可以以\(O(n^2)\)的复杂度算出内心的坐标和了。但是，每个内心被算了三次，而且我们最终答案是内心横纵坐标的期望，所以要将答案除以\(\frac{n(n - 1)(n - 2)}{2}\)
我们对称地考虑三个弧中点构成的三角形。设这三个点\(D,E,F\)对应的复数也是\(D,E,F\)，则我们通过计算角度发现内心对于的复数就是\(D + E + F\)。
证明1:这个三角形的重心为\(\frac{D + E + F}{3}\)，并且由欧拉线定理及比例关系容易得到垂心\(H = D + E + F\)
证明2: 只需证明\(H' = D + E + F\)时，\((H' - D)\)与\((E - F)\)垂直，而\((\vec{OE} + \vec{OF}) \cdot (\vec{OF} - \vec{OE}) = \lvert \vec{OF} \rvert ^2 - \lvert \vec{OE} \rvert ^2 = 0\)，故\(D + E + F\)是\(\triangle DEF\)的垂心。
得到了这个结论过后，我们枚举两个点，以及它们对应的一段弧，计算出这段弧的中点以及不在这段弧上的点的个数，就可以得到这段弧中点的复数值在最终答案里面出现的次数，再将它们相加即可。
时间复杂度仍然为\(O(n^2)\)。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/mathematician/p/12515212.html
