伽马函数常用性质总结以及高斯函数的矩母函数公式推导（随机过程）

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\(\Gamma\)函数的定义

1. 在实数域上伽马函数定义为：
   \[ \Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt(x>0) \]
   另外一种写法：
   \[ \Gamma(x)=2\int_0^{+\infty}t^{2x-1}e^{-t^2}dt \]

2. 在复数域上伽马函数定义为：
   \[ \Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt \]

   \(\Gamma\)函数常用性质

3. \(\Gamma(x+1)=\lim\limits_{N\to+\infty}\frac{n!n^x}{\prod_{m=1}^{n}(x+m)}\)

4. 递归性质：

\[ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) \]

1. 对于正整数\(n\),

\[ \Gamma(x)=(n-1)!\Gamma(1) \]

1. 与白塔（Beta）函数的关系：

\[ B(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} \]
其中，\(B\)函数的定义为：
对于任意的\(P,Q>0\),
\[ B(P,Q)=\int_0^1x^{P-1}(1-x)^{Q-1}dx \]

1. 对于\(x\in(0,1)\)，有

\[ \Gamma(1-x)\Gamma(x)=\frac{\pi}{\sin{\pi}x} \]

1. 常见\(\Gamma\)函数的取值：

\[ \Gamma(\frac{1}{2})=2\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi} \]
\[ \Gamma(-\frac{3}{2})=\frac{4}{3}\sqrt{\pi} \]

\[ \Gamma(-\frac{1}{2})=-2\sqrt{\pi} \]

\[ \Gamma(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}\sqrt{\pi} \]

\[ \Gamma(\frac{5}{2})=\frac{3}{4}\sqrt{\pi} \]

\[ \Gamma(\frac{7}{2})=\frac{15}{8}\sqrt{\pi} \]

\[ \int_0^{+\infty}e^{-t^2}=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \]

1. 对于任意正整数\(n\)，\(\Gamma(n)=(n-1)!\)

求高斯函数\(f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}}dx\)的矩母函数

引理1：\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi}\)

证明：
\[ \begin{align*} &(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^2\&=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy\&=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{+\infty}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr\&=2\pi\int_0^{+\infty}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr\&=2\pi(-e^{-\frac{r^2}{2}}|_0^{+\infty})\&=2\pi \end{align*} \]
因此，\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi}\)
\[ \begin{align*} g_{\xi}(\theta)&=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\theta x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp\{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\}dx\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}+\theta x}dx\&\overset{w=\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}}{=}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{w^2}{2}+\theta(w\sigma_1+\mu_1)}dw\&=e^{\mu_1\theta}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{w^2}{2}+\theta w\sigma_1}dw\&=e^{\mu_1\theta}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(w-\theta\sigma_1)^2-\theta^2\sigma_1^2}{2}}dw\&=e^{\mu_1\theta+\frac{\theta^2\sigma_1^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(w-\theta\sigma_1)^2}{2}}dw\&=e^{\mu_1\theta+\frac{\theta^2\sigma_1^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi}\&=e^{\mu_1\theta+\frac{\theta^2\sigma_1^2}{2}}\\end{align*} \]

参考文献

1. https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%BD%E7%8E%9B%E5%87%BD%E6%95%B0/3540177?fr=aladdin

2. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

3. 常用概率分布的矩母函数、特征函数以及期望、方差的推导

伽马函数常用性质总结以及高斯函数的矩母函数公式推导（随机过程）

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