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https://jakevdp.github.io/PythonDataScienceHandbook/05.12-gaussian-mixtures.html
某些点的归属簇比其他点的归属簇更加明确,比如中间的两个簇似乎有一小块区域重合，因此对重合部分的点将被分配到哪个簇不是很有信心，而且k-means模型本身没有度量簇的分配概率或不确定性的方法。
理解k-means模型的一种方法是：它在每个簇的中心放置了一个圆圈（在更高维空间中是一个超空间），圆圈半径根据最远的点与簇中心点的距离算出。这个半径作为训练集分配簇的硬切断（hard cutoff），即在这个圆圈之外的任何点都不是该簇的成员。
k-means有一个重要特征，它要求这些簇的模型必须是圆形：k-means算法没有内置的方法来实现椭圆形的簇，因此，如果对同样的数据进行一些转换，簇的分配就被变得混乱。
这些变形的簇并不是圆形的，因此圆形的簇拟合效果非常糟糕，k-means强行将数据拟合至4个圆形的簇会导致多个圆形的簇混在一起、互相重叠，右下部分尤其明显。
k-means的两个缺点（类的形状缺少灵活形、缺少簇分配的概率），使得它对许多数据集（特别是低维数据集）的拟合效果不尽人意。
高斯混合模型的两个基本组成部分：
（１）通过比较每个点与所有簇中心点的距离来度量簇分配的不确定性，而不仅仅是关注最近的簇。
（２）通过将簇的边界由圆形放宽至椭圆形，从而得到非圆形的簇。
高斯混合模型（Gaussian mixture model,GMM）试图找到多维高斯概率分布的混合体，从而获得任意数据集最好的模型。
由于GMM有一个隐含的概率模型，因此它也可能找到簇分配的概率结果——在Scikit-Learn中用predict_proba方法实现，这个方法返回一个大小为[n_samples,n_clusters]的矩阵，矩阵会给出任意点属于某个簇的概率。
高斯混合模型本质上和k-means模型非常类似，它们都使用了期望最大化方法，具体实现如下：
（１）选择初始簇的中心位置和形状
（２）重复直至收敛
a、期望步骤（E-step）：为每个点找到对应每个簇的概率作为权重。
b、最大化步骤（M-step）：更新每个簇的位置，将其标准化，并且基于所有数据点的权重来确定形状
每个簇的结果并不与硬边缘的空间（hard-edgedsphere）有关，而是通过高斯平滑模型实现。
高斯模型允许使用全协方差（full covariance），即使是于非常扁平的椭圆形的簇，该模型也可以处理。
其中的超参数covariance_type控制了每个簇的形状自由度，它的默认值是covariance_type=‘diag‘，意思是簇在每个维度的尺寸都可以单独设置，椭圆边界的主轴与坐标轴平行。
当covariance_type=‘spherical‘时，该模型通过约束簇的形状，让所有维度相等，这样得到的聚类结果和k-means聚类的特征是相似的，但两者并不完全相同。
当covariance_type=‘full‘时，该模型允许每个簇在任意方向上用椭圆建模。
虽然GMM通常被归类为聚类算法，但它本质上是一个密度估计算法，从技术的角度考虑，即一个GMM拟合的结果并不是一个聚类模型，而是描述数据分布的生成概率模型。
GMM是一种非常方便的建模方法，可以为数据估计出任意维度的随机分布
作为一种生成模型，GMM提供了一种确定数据集最优成分数量的方法：由于生成模型本身就是数据集的概率分布，因此可以利用该模型来评估数据的似然估计，并利用交叉检验防止过拟合，纠正过拟合的标准分析方法有赤池信息量准则（Akaike information criterion,AIC）和贝叶斯信息准则（Bayesian information criterion,BIC），用来调整模型的似然估计，这两种度量准则的计算方法内置在Scikit-Learn的GMM评估器内。
类的最优数量出现在AIC或BIC曲线最小值的位置，最终结果取决于我们更希望使用哪一种近似。
AIC告诉我们，选择16个成分可能太多，8个~12个成分可能是更好的选择。
这里需要注意的是：成分数量的选择度量的是GMM作为一个密度评估器的性能，而不是作为一个聚类算法的性能，建议把GMM当成一个密度评估器，仅在简单数据集中才将它作为聚类算法使用。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/nuochengze/p/12541550.html
