[题解] LuoguP4284 [SHOI2014]概率充电器

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https://www.luogu.com.cn/problem/P4284

比较套路的概率题？

由期望的线性性可以把每个点拆开来，然后答案就是每个点通电的概率之和。

通电的概率并不怎么好算，我们可以算点\(u\)不通电的概率\(f[u]\)，然后答案就是

\[\sum\limits_{i=1}^n 1-f[i]\]

发现一个点要么被子树内的节点电到（这里的子树包括自己）要么由子树外的点发电。

先考虑子树内的好了。

显然\(f[u]\)为所有儿子\(v\)不会电到\(u\)的概率之积再乘上\(u\)自己不发电的概率。所以有转移

\[f[u]=(1-p[u])\prod\limits_{v \in son(u)}(f[v]+(1-w(u,v))\times (1-f[v]))\]

（\(p[u]\)表示\(u\)发电的概率，\(w(u,v)\)表示边\((u,v)\)通电的概率）

即对于\(v\)分两种情况

• \(v\)没有被电，这时候不管怎样\(v\)都不会电到\(u\)
• \(v\)被电了，这时候就要保证\((u,v)\)这条边不通电

发现这样只能算子树内的答案，乘法显然是可撤销的，于是换根DP就好了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;++i)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;--i)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;

const int N=5e5+10;
vector<pair<int,db>> e[N];
db prob[N];
int n;

db dp[N],f[N];

void dfs(int u,int ff) {
    dp[u]=1-prob[u];
    for (auto ei:e[u]) {
        int v=ei.fi; db w=ei.se;
        if (v==ff) continue;
        dfs(v,u);
        dp[u]*=dp[v]+(1-dp[v])*(1-w);
    }
}
void getans(int u,int ff) {
    for (auto ei:e[u]) {
        int v=ei.fi; db w=ei.se;
        if (v==ff) continue;
        db fu=f[u]/(dp[v]+(1-w)*(1-dp[v]));
        f[v]=dp[v]*(fu+(1-fu)*(1-w));
        getans(v,u);
    }
}

int main() {
    scanf("%d",&n);
    rep(i,0,n-1) {
        int u,v; db w;
        scanf("%d%d%lf",&u,&v,&w),w*=0.01;
        e[u].pb(mp(v,w));
        e[v].pb(mp(u,w));
    }
    rep(i,1,n+1) scanf("%lf",&prob[i]),prob[i]*=0.01;
    dfs(1,0);
    f[1]=dp[1];
    getans(1,0);
    db ans=0; rep(i,1,n+1) ans+=1-f[i];
    printf("%.6lf\n",ans);
    return 0;
}

[题解] LuoguP4284 [SHOI2014]概率充电器

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