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题目：传送门
题意：
给你一个长度为 N 的只由123 构成的字符串 a ，定义 Xi,j 满足：
思路：
第一个观察，最终的答案只可能是 0、1、2，然后，从 N = 2 起，Xi,j 就不存在 3 了，都是 0、1、2，那我们直接在输入的时候，就将 123 转换为 012 是可以的，因为 N >= 2 嘛。
第二个观察，若字符串中存在 1 ，那么它的最终答案就不可能是 2，因为你 2 遇到 1 会变为 1，你 0 遇到 1 也会变成 1，你只要 1 和 0 或者 2 同时存在，你的 1 就不可能消掉，那就考虑最终答案是 0 或者 1，也就是考虑最终答案的奇偶性就行了。这时，需要注意到，在 mod 2 的运算中，减法，相当于加法。那么题目给的递推式就变成了：
（截取自 博two）
到此，你就需要有一定的经验了，你需要发现，这个式子很像求组合数的递推公式：
C(n,m)=C(n−1,m−1)+C(n - 1,m)
只不过，递推的方向不同.
由于在 mod 2 下减法相当于加法，那我们只需要知道，输入的字符串，每个数被加了几次即可，第 i 个数被加的次数就是 C(n - 1, i - 1).
由于 n <= 1e6 很大，可以用 Lucas 定理去求组合数，也可以根据
C(n, m) = n! / ( m! * (n - m)! )
我们只想要知道 C(n, m） 的奇偶性，那我们可以求 n! 中质因子 2 的个数，减去 m! 中质因子 2 的个数，再减去 (n - m)! 中质因子 2 的个数，若减完之后等于 0，那么C(n, m) 就是奇数，否则说明C(n, m) 有质因子 2 ，那他就是偶数。
第三个观察，若字符串中不存在 1，也就是说只有 0 和 2，这时只要把 2 看成 1 就行了，若最终答案是奇数，就是输出 2 ，否则就输出 0.
#include <bits/stdc++.h> #define LL long long #define ULL unsigned long long #define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i)) #define rep(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++) #define dep(i, j, k) for(int i = k; i >= j; i--) #define pb push_back #define make make_pair #define INF INT_MAX #define inf LLONG_MAX #define PI acos(-1) using namespace std; const int N = 1e6 + 5; const LL mod = 1e9 + 7; LL ksm(LL a, LL b) { LL ans = 1LL; while(b) { if(b & 1) ans = ans * a % mod; a = a * a % mod; b >>= 1; } return ans; } char a[N]; int fac[N]; void init(int n) { fac[0] = 0; rep(i, 1, n) { fac[i] = fac[i - 1]; int tmp = i; while(tmp % 2 == 0) { fac[i]++; tmp = tmp / 2; } } } int C(int n, int m) { return fac[n] - fac[m] - fac[n - m]; } void solve() { int n; scanf("%d", &n); scanf("%s", a + 1); bool flag0 = 0, flag1 = 0, flag2 = 0; rep(i, 1, n) { a[i]--; if(a[i] == ‘0‘) flag0 = 1; if(a[i] == ‘1‘) flag1 = 1; if(a[i] == ‘2‘) flag2 = 1; } if(flag0 + flag1 + flag2 <= 1) { puts("0"); return ; } init(n); int ans = 0; if(flag1) { rep(i, 1, n) { if(a[i] == ‘1‘) { if(C(n - 1, i - 1) == 0) ans ^= 1; } } } else { rep(i, 1, n) { if(a[i] == ‘2‘) { if(C(n - 1, i - 1) == 0) ans ^= 1; } } ans = ans * 2; } printf("%d\n", ans); } int main() { // int _; scanf("%d", &_); // while(_--) solve(); // solve(); return 0; }
AGC 043 B - 123 Triangle (数学、 思维、巧妙)
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Willems/p/12552885.html
