标签：个人 坐标 tar 一点 最好 parallel lag sum 倒数
预备：闭区间上连续函数的最值定理。
问题：这些最值点在哪里？
定义：设对函数\(f(x),\exists x_0\in D(f),\delta>0\,s.t.U(x_0, \delta_0)\subset D(f),\exists 0<\delta_0 < \delta,\)当\(x\in U(x_0, \delta_0)，\)都有\(f(x)\leq f(x_0),\)就称\(f(x_0)\)是极大值，\(x=x_0\)为极大值点。
这里的模糊不等关系，使得\(y=C\)上处处是极大极小值，条件更弱，从而有更多的极值点，使用可能更广泛。
补充定义：极大值和极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。
尽管我们找到了对这些概念的数学描述，但找到这些可疑点还需要再走出一步，这一步就是对极值点性质的研究。
通过作出图像，以及我们看出的这些“峰”“谷”处的切线，我们大胆猜想，这些地方的导数值为零。
这个想法即为费马定理:
若\(f(x)\)在\(x=x_0\)处取到极值且\(f‘(x_0)\)存在，则\(f‘(x_0)=0\)。反之不成立（存在非极值点的驻点）。
从而这个定理又称为取到极值的必要条件。
引理：(保号性)若\(\exists\delta_0>0,\)当\(x\in U_0(x_0, \delta_0)\)时，都有\(f(x)\leq g(x),\)且\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A.\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B，\)则\(A\leq B\)
若\(f(x)\)在\(x=x_0\)取到极值：
从而我们有：
综合起来，我们对最值的怀疑点有了相对明确的了解：一定在端点或区间内部的驻点或者内部不可导点中。
那我们既然已经了解了最值点的性质了，为什么还要研究极值点呢？
毕竟只是闭区间上可以有这样的好性质。只要有一边是开，最值点的性质就无用武之地了。
例题略：关于闭区间上求最值的主要步骤：
重大的科学成就，无往不是站在巨人的肩膀上做出的。有些时候，还是很多人站在同一个人肩膀上……
函数具有什么样的性质，才能使得\(f‘(x)=0\)有一个根？
若\(f(x)\)定义在闭区间\([a, b]\)上，
几何意义，闭区间\([a,b]\)上处处连续，且在\((a, b)\)内部曲线的切线处处存在、不平行于\(y\)轴，而且两端点函数值相等，则在曲线内部存在一点\(\xi, f(\xi),\)在该处的切线平行于\(x\)轴。通俗地说，离开这条线，想要再回来肯定会回头，这个思想是拉格朗日中值定理的基础。
怎样减弱罗尔的条件限制？
去掉\(f(a)=f(b)\)那只能自己创造这个相等咯。转换坐标系。（第35讲16min）
若\(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上满足下面两个条件：
则至少存在一点\(\xi\in(a, b)\,s.t.f‘(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
证：要证存在\(\xi\in(a, b)\,s.t.f‘(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
只要证\(f‘(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\)成立（把式子移到等式一边从而构造罗尔定理的条件）。
只要(利用积分)\(F(x)=f(x)-\frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x+C)\)在\(x=a, x=b\)处有\(F(a)=F(b)\)，为了消解分式结构，我们最好取\(C=a或C=b.\)不妨取\(C=a，\)那么我们有\(F(a)=F(b)=f(a).\)
那么我们索性构造\(G(x)=F(x)-f(a)\)由\(G(x)\in[a, b],G(x)\in D(a, b),G(a)=0, G(b)=0,\)结合Rolle定理得\(\exists\xi,G‘(\xi)=f‘(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0,\)即\(f(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\)
如上的\(G(x)\)就是曲线减去弦所在的直线。
拉氏定理的意义即是，开区间对应的曲线上存在\(\xi\,s.t.f(\xi)=k,\)其中\(k\)为割线斜率。
在微分中值定理的条件已经几乎无法减弱的时候，柯西将\(x,y\)看作参数方程，从而构造出更加一般的情形。
参数方程
确定函数\(y=y(x)\)满足的拉氏条件，\(k_{AB}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f‘(\xi)}{g‘(\xi)}\)，从而利用拉格朗日定理的形式猜结论，写证明。
定理内容：若\(f(x),g(x)\)满足下面两个条件：
罗尔定理\(\xrightleftharpoons[特例]{推广}\)拉格朗日定理\(\xrightleftharpoons[特例]{推广}\)柯西定理
从左向右，普遍性增强。
从这个关系上说，能用罗尔、拉格朗日定理解决的问题肯定可以直接代入柯西求解，但更多地，我们会使用到前两个，因为不一定需要那么一般的结论。
能用拉格朗日、柯西定理解决的问题，一定能通过构造函数再利用罗尔定理解。这在一些故意挑事的题目里面是很常见的。
\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\Big(\frac{0}{0}型\Big)\)
分析知，\(x=x_0\)点处至少为一个可去间断点。
\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0.\)
但这样的条件都局限在去心邻域之上，从而我们应该考虑补充定义：
令
要求\(F(x), G(x)\)在\([x_0, x](x_0 < x)\)或\([x, x_0]\)上连续，在\(U_0(x_0,\delta)\)内可导，且\(G‘(x)\not=0\)即\(\exists\delta > 0,\)当\(x\in U_0(x_0,\delta)\)时，\(f‘(x),g‘(x)\)存在且\(g‘(x)\not=0\)
如果再有\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f‘(x)}{g‘(x)}=A\Big/\infty，\)
分析知，如果以上的条件不完全满足，仍然有可能使得特殊路径的趋近成立。
由上述的分析，我们将这个法则总结如下：
若：
则\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f‘(x)}{g‘(x)}=A\Big/\infty.\)
补充：一个减弱版：若\(f‘(x_0),g‘(x_0)\)均存在（这时只需要这两个函数在这一点可导），那么\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f‘(x_0)}{g‘(x_0)}.\)
上式中\(x_0\)为常数，\(x\to x_0\)改成\(x\to x_0^-, x\to x_0^+, x\to\infty, x\to+\infty, x\to-\infty\)将相应的条件改变，结果依然成立。
以\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\Big(\frac{0}{0}\Big)\)为例，
\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(\frac{1}{t})}{g(\frac{1}{t})}=\lim\limits_{t\to0}\frac{f‘(\frac{1}{t})(-\frac{1}{t^2})}{g‘(\frac{1}{t})(-\frac{1}{t^2})}=\lim\limits_{t\to0}\frac{f‘(\frac{1}{t})}{g‘(\frac{1}{t})}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f‘(x)}{g‘(x)}=A\Big/\infty.\)
由于我们并不知道\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}\)的值，从而不能简单地化到\(\frac{0}{0}\)型。详情见数分PDF.P204
\(\lim\limits_{x\to0^+}x^a\cdot\ln x(a>0, 常)\)
\(=\color{#FF0000}{\lim\limits_{x\to0^+}}x^a\cdot\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=0\cdot\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=0?\)
这是一个典型错误，不仅是对没有极限的两个部分进行拆解，还错误以为\(0\cdot\infty=0.\)
解：原式\(=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\ln x}{x^{-a}}\xlongequal{洛}\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-ax^{-a-1}}=-\frac{1}{a}\lim\limits_{x\to0^+}x^a=0.\)
直接通分，化成洛必达结构。
例 \(\lim\limits_{x\to0}\big(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\big)=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}\xlongequal{洛}\frac{e^x-1}{2x}=\frac{1}{2}\)
利用\(f(x)\to0,\)则\(\lim\limits_{x\to x_0}[1+f(x)]^{\frac{1}{f(x)}}=e.\)一个更好的思路是\([1+f(x)]=e^{f(x)}\)
\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}\Big(1^\infty,\infty^0, 0^0\Big)\)
原式\(=\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\ln f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\),这三种未定式分别对应\(\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty},\frac{\infty}{\infty}\)
类似的，\(0^\infty\)不是未定式。
几个很好的例题：
例 \(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x-\sin x}{x+\cos x}\xlongequal{洛}\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1-\cos x}{1-\sin x}\)
等号后的式子没有极限。但这并说明原式无极限，而只能说明不能用洛必达法则。
这个问题，代表了\(\frac{\infty}{\infty}\)不可消除的一类，应当使用抓大放小的思想
求\(\lim\limits_{n\to\infty}f(n)\)（未定式），如果\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A\Big/\infty,\)则\(\lim\limits_{n\to\infty}f(n)\)（未定式）\(=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A\Big/\infty.\)
但是，如果\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\)极限不存在，那么\(\lim\limits_{n\to\infty}f(n)\)需要使用其他方法求解。
例 \(\lim\limits_{n\to\infty}[(1+\frac{1}{n})^n-e]\cdot n\quad(0\cdot \infty)\)
原式\(=\lim\limits_{x\to+\infty}[(1+\frac{1}{x})^x-e]\cdot x=\lim\limits_{t\to0^+}\frac{(1+t)^{\frac{1}{t}}-e}{t}=\lim\limits_{t\to0^+}\frac{e^{\frac{\ln(t+1)}{t}}-e}{t}(法二)=\lim\limits_{t\to0^+}e^{\frac{\ln(1+t)}{t}}\cdot\frac{\frac{t}{1+t}-\ln(1+t)}{t^2}=e\lim\limits_{t\to^+}\frac{t-(1+t)\ln(1+t)}{t^2(1+t)}=e\lim\limits_{t\to0^+}\frac{t-(1+t)\ln(1+t)}{t^2}=e\lim\limits_{t\to0^+}\frac{1-\ln(1+t)-1}{2t}=\frac{e}{2}.\)
法二：（从接口处来）原式\(=\lim\limits_{t\to0^+}e\cdot\frac{e^{\frac{\ln(1+t)}{t}-1}-1}{t}=e\lim\limits_{t\to0^+}\frac{\frac{\ln(1+t)}{t}-1}{2t}=e\lim\limits_{t\to0^+}\frac{\ln(1+t)-t}{t^2}\)然后洛必达
证明\(f(x)=0\)在\((a, b)\)内有一个根\(\xi\Leftrightarrow\exists F(x)\,s.t.\forall x\in[a, b],\)都有\(F‘(x)=f(x),F‘(\xi)=0,\)对\(F(x)\)在\([a, b]\)上应用罗尔定理\(\exists\xi\in(a, b)\,s.t.F‘(\xi)=0,\)即\(f(\xi)=0.\)
设任意\(a_1, a_2,\cdots a_n\)均为实常数。求证\(a_1\cos x+a_2\cos2x + \cdots + a_n\cos nx=0\)在\((0, \pi)\)内至少有一个根。
证：设\(f(x)=a_1\cos x+a_2\cos2x + \cdots+a_n\cos nx,\)由\(f(x)\in C[0, \pi],f(0)=a_1+a_2+\cdots+a_n,\)\(x=\pi\)时加加减减，情况类似，得不到具体的正负性。由\((\frac{1}{n}\sin nx)‘=\cos nx,\)我们可以构造函数\(F(x)=a_1\sin x+\frac{1}{2}a_2\sin2x+\cdots+\frac{1}{n}a_n\sin nx.\)分析知\(F(x)\)满足罗尔定理的条件，更重要的\(F(0)=F(\pi),\)故而\(\exists\xi\in(a, b)\,s.t.F‘(\xi)=f(\xi)=0\quad■\)
尤其是含有\(\xi\)处的导数\(\Leftrightarrow\)对函数\(F(x)\)使用罗尔定理得到\(F‘(\xi)=0\)
\(\exists\xi\in(a, b),\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\Leftrightarrow f(b)-f(a)=f‘(\xi)(b-a)（1）\)(建立了函数和导数的关系)
而当\(b<a\)时，只要\(f(x)\)在\([b, a]\)上满足拉氏条件，则\((1)\)式仍然成立，对\(f(x)\)在\([b, a]\)上用拉氏定理\(f(a)-f(b)=f‘(\xi)(a-b),b<\xi<a，\)变形后仍有\(f(b)-f(a)=f‘(\xi)(b-a)。\)故不论\(a, b\)的大小关系，只要\(f(x)\)满足拉氏条件，便有：
其中\(\xi\)介于\(a, b\)之间。
不论\(a>b||a<b,0<\frac{|\xi-a|}{|x-a|}<1\)或者写作\(0<\big|\frac{\xi-a}{b-a}\big|<1(0<\theta<1)\Leftrightarrow0<\frac{\xi-a}{b-a}<1,\)令\(\theta=\frac{\xi-a}{b-a}\)那么\(\xi\)可以记作\(a+\theta(b-a),\)即有:
进一步可以改写成：
设\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，在\((a, b)\)可导。
证：\(\forall x_1, x_2\in(a,b)\)且\(x_1,<x_2\)，由\(f(x)\)在\([x_1,x_2]\)上满足拉氏条件。\(\exists\xi\in(x_1,x_2)\,s.t.f(x_2)-f(x_1)=f‘(\xi)(x_2-x_1)\)
\(x\in(a,b),f‘(x)\geq0, \xi\in(a, b)f‘(\xi)\geq0,x_2-x_1>0\Rightarrow f(x_2)-f(x_1)\geq0\Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)\)，知\(f(x)\)在\((a,b)\)上是递增函数。同理可证第二条。
对于第三条\(x\in(a,b),f‘(x)=0\Rightarrow f‘(\xi)=0\Rightarrow f‘(\xi)(x_2-x_1)=0\Rightarrow f(x_2)-f(x_1)=0\Rightarrow f(x_2)=f(x_1)\)即\(f(x)\)是\((a,b)\)上的常值函数
例 设\(b>a\geq e\)，证明\(a^b>b^a.\)
证：要证\(a^b>b^a\)成立，只要证\(\ln a^b >\ln b^a\)成立，只要证\(b\ln a>a\ln b\)成立，只要证\(\frac{\ln a}{a}>\frac{\ln b}{b}（1）\)
可以构造函数求导利用单调性定理，也可以使用拉格朗日中值定理说明
由极值点一定包含在区间内部的驻点或不可导点中
\(1^。\)判断取到极值的第一充分条件：
若\(f(x)\)在\(U(x_0,\delta)\)内连续，在\(U_0(x_0, \delta)\)内可导（强调\(f(x)\)在\(x_0\)处连续，这是拉格朗日定理的必然要求）从而包括了极值点和尖点的两种情况。
但要注意的是，极值本身是不需要在点处连续的，例如可去间断点（甚至左右极限不相等都可以）所以说，这个条件是充分的
\(2^。\)判断取到极值的第二充分条件
若\(f‘(x_0)=0\)，且\(f‘‘(x_0)\)存在：
拓展：若\(f‘‘(x_0)\)存在，隐含在\(U(x_0)\)内\(f‘(x)\)存在，则\(f(x)\)当\(x\in U(x_0)\)必然连续
简要证明\((1)\)当\(f‘‘(x_0)>0,f‘‘(x_0)=\lim\limits_{x\to x_)}\frac{f‘(x)-f‘(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f‘(x)}{x-x_0}=f‘‘(x_0)>0\)，由保号性，\(\exists\delta>0\)，当\(x\in U_0(x_0,\delta)\)时\(\frac{f‘(x)}{x-x_0}>0\)，当\(x\in(x_0-\delta,x_0),f‘(x)<0\)，当\(x\in(x_0,x_0+\delta),f‘(x)>0\)，由\(（1）\)知\(f(x_0)\)为极小值
微积分的初步应用问题
这个极值唯一的条件实在太强了，不容易达到。更多地我们使用连续函数的极值存在定理会更好。
例 \(f(x)=e^x\)，求\(f(3.15)?\)
目的是近似求解超越函数的符合误差的解。
理论基础：多项式相关计算的便利性。
由拉氏定理，若\(f(x)\)在\([a,b]\)上满足拉氏条件，则\(f(b)-f(a)=f‘(\xi)(b-a)\Rightarrow f(b)=f(a)+f‘(\xi)(b-a)\)，令\(b=x,a=x_0,x\not= x_0\)且\(f‘(x)\)存在，得\(f(x)=f(x_0)+f‘(\xi)(x-x_0),\xi\)介于\(x_0,x\)之间。
若\(f‘‘(x)\)存在，我们猜想地将原函数值表示称一个多项式的组合：\(f(x)=f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)+\mathscr{K}(x-x_0)^2\)，其中\(\mathscr{K}=\frac{f(x)-[f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)]}{(x-x_0)^2}\)
或者我们通过线性函数的类推来得到猜想：对于一阶，如果\(f(x)=a_0+a_1(x-x_0),f‘(x)=a_1,f(x_0)=a_0,f‘(x_0)=a_1\)，则\(f(x)=f(x_0)+f‘(x-x_0)\)，那么对于一个更高阶的函数，我们可以将其表示称一个线性函数\(f(x)=f(x_0)+f‘(x-x_0)\)和一个高阶小量的和，从而构造\(\frac{f(x)-[f(x_0)+f‘(x-x_0)]}{(x-x_0)^2}=\mathscr{K}\)
现在我们来研究这个\(\mathscr{K}\)的值到底是多少。
令\(F(x)=f(x)-[f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)],G(x)=(x-x_0)^2,\)
\(F‘(x)=f‘(x)-f‘(x_0),F‘‘(x)=f‘‘(x),F(x_0)=0, F‘(x_0)=0;\)
\(G‘(x)=2(x-x_0),G‘‘(x)=2!,G(x_0)=0,G‘(x_0)=0.\)
\(\mathscr{K}\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}=\frac{F‘(\xi_1)}{G‘(\xi_1)}=\frac{F‘(\xi_1)-F‘(x_0)}{G‘(\xi_1)-G‘(x_0)}=\frac{F‘‘(\xi)}{G‘‘(\xi)}=\frac{f‘‘(\xi)}{2!}\)
设\(f^{(n)}\)在区间\(I\)上连续(对应拉氏的闭区间连续)，在\(I\)内部\(f^{(n+1)}\)存在（开区间可导），<如果求皮亚诺余项只需要\(x_0\)处\(n\)阶可导>取\(x_0\in I,\forall x\in I\,s.t.x\not= x_0\)，则\(f(x)=f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)+\frac{f‘‘(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)称为\(f(x)\)在\(x_0\)处的\(n\)阶泰勒公式
有时条件可以加强一些，改为在\(I\)上\(f^{(n+1)}(x)\)存在。
称\(f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)+\frac{f‘‘(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\xlongequal{\mathrm{def}}P_n(x)\)称为\(n\)次泰勒多项式，称\(\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\xlongequal{\mathrm{def}}R_n(x)\)称为拉格朗日余项。\(\xi\)介于\(x_0, x\)之间，\(\xi=x_0+\theta(x-x_0), 0<\theta<1,R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x+\theta(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)称为柯西余项，如果\(f(x)\approx P_n(x)\)，误差\(|f(x)-P_n(x)|=|R_n(x)|=|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}|=\frac{|f^{(n+1)}(\xi)|}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\)若\(|f^{(n)}(x)|\leq M(常),n = 0, 1, 2\cdots\)，原式\(\leq M\cdot\frac{|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!}\)，由重要极限可得误差当\(n\to\infty\)时误差极小。
特别地，若\(0\in I,\)取\(x_0 = 0\)，此时泰勒公式为\(f(x)=f(0) +f‘(0)x+\frac{f‘‘(0)}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}x^{n+1}\)称为\(f(x)\)在\(x=0\)处的Maclaurin公式。
\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}\)是麦克劳林公式的拉格朗日余项。
说明：
例 证明\(e\)是无理数（wsj.pdf220.ex5.3.14）
例 近似计算\(e\)的值（误差小于\(10^{-6}\)）
\(|\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}|=\frac{e^\xi}{(n+1)!}<\frac{e}{(n+1)!}\leq\frac{3}{(n+1)!}\leq 10^{-6}\)
对分式，计算到第九位，合并后取八位，四舍五入到六位就会准确。
例 \(f‘‘(x)>0,\)且\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1\)，证明\(f(x)\geq x\)
证：由\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1\)且\(\lim\limits_{x\to0}x=0\Rightarrow \lim\limits_{x\to0}f(x)=0=f(0)\)
\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1\Rightarrow f‘(0)=1\)
\(f(x)=f(0)+f‘(0)x+\frac{f‘‘(\xi)}{2!}x^2\geq x+\frac{f‘‘(\xi)}{2!}x^2\geq x\)
引理：若\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=C\not=0,\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0,\)则\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0\)，当\(C\)可能为零时，只能反向推\(\lim\limits_{x\to0}g(x)=0\Rightarrow\lim\limits_{x\to0}f(x)=0\)
尤其是含有\(\xi\)处的高阶导数的问题
例 \(f(x)\)在\([a, b]\)上\(n\)阶可导且\(f(a)=0, f^{(k)}(b)=0,k=0, 1, 2,\cdots, n-1\)，则至少存在一点\(x\in(a, b)\,s.t. f^{(n)}(\xi)=0\)（\(n\)阶泰勒展开）
分析：Taylor公式的两种余项表达形式\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)要么太抽象，要么太繁琐，有没有一种折中的思路既能简单地写出来，同时又能保证一定的信息量？
\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n}}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)=0\)，从而\(R_n(x)=o[(x-x_0)^n](x\to x_0).\)
\(Peano\)定理：
若\(f(x)\)在\(x_0\)处\(n\)阶可导， 则\(f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)+\frac{f‘‘(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n](x\to x_0)\)
特别的，\(x_0=0\)，则\(f(x)=f(0)+f‘(0)x+\frac{f‘‘(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n(x\to0)\)称为带有Peano余项的Maclaurin公式
\(f(x)=0+0\cdot x+\cdots+0\cdot x^{k-1}+A\cdot x^{k}+o(x^k)(x\to0)=A\cdot x^k+o(x^k)\sim Ax^k(x\to0)\)，同理写出\(g(x)\sim Bx^m\)，借助抓大放小的思想得解。
展开原则：
例 \(x-\sin x\)当\(x\to0\)是\(x\)的几阶无穷小？
用原则一：\(x-\sin x=x-(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3))=\frac{1}{6}x^3+o(x^3)(x\to0)\)从而是3阶无穷小
用原则二：待定系数（用一次洛必达）\(\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^k}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{kx^{k-1}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{kx^{k-1}}\Rightarrow k-1 = 2\)
补充：使用时，哪一点处信息多就从那一点展开
利用泰勒公式，我们可以由3.1推1：
\(f(x)=f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)+\frac{f‘‘(\xi)}{2}(x-x_0)^2>f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)\)，不等式左侧是函数曲线，右侧是切线，从而证明是凹的。
曲线\(y=f(x)\)上凹凸的分界点\(\mathbf{(x_0, f(x_0))}\)称为曲线的拐点。
定理：若\(f‘‘(x_0)=0\)，且\(f‘‘‘(x_0)\not=0\)，则\((x_0, f(x_0))\)是曲线的拐点。
由\(f‘‘‘(x_0)\not=0,\)不妨设\(f‘‘‘(x_0)>0,\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f‘‘(x)-f‘‘(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f‘‘(x)}{x-x_0}=f‘‘‘(x_0)>0\)，由保号性，\(\exists\delta>0,\)当\(x\in U_0(x_0, \delta)\)时，\(\frac{f‘‘(x_0)}{x-x_0}>0,x\in(x_0-\delta, x_0), x-x_0<0\Rightarrow f‘‘(x)<0x\in(x_0, x_0+\delta)\)时，\(x-x_0<0\Rightarrow f‘‘(x)>0,\therefore (x_0,f(x_0))\)为拐点
从而利用这个定理，求拐点的步骤划归入\(f‘(x)\)的极值问题。
只要把极值求算的“一个必要，两个充分”抬高一阶就可以
把例如\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的函数无穷远处的图形画出来：没有画出，胜似画出（甚至还知道趋势）
定义：设\(y=f(x)\)是一个给定的曲线，\(\ell\)是一个给定的直线，若曲线上\(P(x, f(x))\)到直线\(\ell\)的距离，当\(P\)无限远离原点时，该距离的极限为0，称直线是曲线\(y=f(x)\)的渐近线，若\(\ell\nparallel y\)轴，称\(\ell\)为曲线\(y=f(x)\)的斜渐近线。
可以设\(\ell:y=ax+b\)
若\(\ell\)是曲线\(y=f(x)\)的斜渐近线\(\Leftrightarrow\lim\limits_{\Delta |OP|\to0}|PQ|=0\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to\infty}\frac{|f(x)-ax-b|}{\sqrt{1+a^2}}=0\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to\infty}[f(x)-ax-b]=0\Rightarrow\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}[f(x)-ax-b]=0\Rightarrow\lim\limits_{x\to\infty}[\frac{f(x)}{x}-a-\frac{b}{x}]\)即:
通过分析，我们感受到，对一定的弧度，弧长越大，曲率越小；对一定的弧长，弧度越大，曲率越大。
从而我们可以定义平均曲率：
若曲线\(\Gamma:\begin{cases}x=x(t)\\y=x(t)\end{cases},\alpha\leq t\leq\beta\)，\(A(x(t),y(t))\)，取\(Q\big(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t)\big),\widehat{AQ}\to A\iff Q\to A\xleftrightarrow{x(t),y(t)连续},\tan \alpha=\frac{y‘(t)}{x‘(t)},\alpha = \arctan\frac{y‘(t)}{x‘(t)}\Rightarrow\theta =\Big|\alpha(t+\Delta x)-\alpha(t)\Big|=|\Delta\alpha|\)
此处我们求解弧长的一阶导数要应用到定积分的内容，从而暂时略去：\(s‘(t)=\sqrt{x‘^2+y‘^2}\)，而弧度\(\alpha‘(t)=\Big(\arctan\frac{y‘(t)}{x‘(t)}\Big)‘=\frac{x‘y‘‘-x‘‘y‘}{x‘^2+y‘^2}\)(这里相当于条件再次加码：二阶可导？)
由于曲率为正值，故\(k=\frac{|x‘y‘‘-x‘‘y‘|}{(x‘^2+y‘^2)^{\frac{3}{2}}}\)
例 \(\begin{cases}x=a\cos \theta, \\y=b\sin\theta\end{cases}\)其中\(0\leq\theta\leq2\pi, 0<b\leq a\)求\(\theta\)处的曲率。
分析知，\(\theta=\frac{\pi}{2}\Big/\frac{3\pi}{2}\)时曲率最小，\(\theta =0\Big/\pi\)时曲率最大。
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