01背包

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423. 采药

思路： 裸的01背包，背包容量V，n个物品，有重量v和价值w，一次只能选一个。dp[i,j]表示前i件商品中选择，体积不超过j可获得的最大价值。求可获得最大的价值。01背包的内存优化从大到小枚举体积。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010,M=110;
int dp[N];
int t[M],v[M];
int main(){
    int n,m;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        cin>>t[i]>>v[i];
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=m;j-t[i]>=0;--j){
            dp[j]=max(dp[j-t[i]]+v[i],dp[j]);
        }
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}

1024. 装箱问题

思路： dp[i,j]表示前i件商品中选择，体积恰好为j。任何体积都由dp[0,0]转移过来。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=50,V=20010;
int a[N],dp[V];
int main(){
    int v,n;
    cin>>v>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        cin>>a[i];
    }
    dp[0]=1;
    int Max=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=v;j-a[i]>=0;--j){
            if(dp[j-a[i]]){
                dp[j]=1;
                Max=max(j,Max);
            }
        }
    }
    cout<<v-Max<<endl;
    return 0;
}

278. 数字组合

思路： dp[i,j]表示从前i件商品中选择体积恰好为j的选法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long dp[10010];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    dp[0]=1;
    for(int i=1,v;i<=n;++i){
        cin>>v;
        for(int j=m;j-v>=0;--j){
            dp[j]+=dp[j-v];
        }
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}

1022. 宠物小精灵之收服

思路： 二维费用01背包。f[i,j,k]表示从前i件商品中选择V1不超过j，V2不超过k的最大价值，可的获得最大价值。注意皮卡丘的体力不能为0,答案为dp[n,V1,V2-1].

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010,M=510;
int dp[N][M];
int main(){
    int V1,V2,n;
    cin>>V1>>V2>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int v1,v2;
        cin>>v1>>v2;
        for(int j=V1;j-v1>=0;--j){
            for(int k=V2-1;k-v2>=0;--k){
                dp[j][k]=max(dp[j-v1][k-v2]+1,dp[j][k]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[V1][V2-1]<<" ";
    int Max=V2-1;
    while(Max>0&&dp[V1][Max-1]==dp[V1][V2-1]) Max--;
    cout<<V2-Max<<endl;
    return 0;
}

1020. 潜水员

思路： 需要求体积1超过V1，体积2超过V2的前提获得的最小价值。因为这道题可理解为求较大的体积，定义f[i,j,k]前i中商品中选择体积1至少是j，体积2至少是k获得的最少价值。做法和01背包一样，只是初始化的区别，还有y总总结的背包问题状态关于体积不同的顶一下，初始化的方式：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=30,N=80;
int f[M][N];
int main(){
    int V1,V2,n;
    cin>>V1>>V2>>n;
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    f[0][0]=0;
    for(int i=1,v1,v2,w;i<=n;++i){
        cin>>v1>>v2>>w;
        for(int j=V1;j>=0;--j){
            for(int k=V2;k>=0;--k){
                f[j][k]=min(f[max(0,j-v1)][max(0,k-v2)]+w,f[j][k]);
            }
        }
    }
    cout<<f[V1][V2]<<endl;
    return 0;
}

12. 背包问题求具体方案

思路： 根据最大值，从选择物品的放方向枚举，判断当前物品下剩余体积的价值是否对应，对应就选择，然后扩展到下一物品。因为要按照字典序最小输出，所以最后枚举答案要从1_{n，所以01背包从n}1开始做。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1100;
int f[N][N],v[N],w[N],way[N];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=n;i>=1;--i){
        for(int j=0;j<=m;++j){
            f[i][j]=f[i+1][j];
            if(j>=v[i])
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i+1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    int j=m,tot=0;
     for(int i=1;i<=n;++i){
        if(j-v[i]>=0&&f[i][j]==f[i+1][j-v[i]]+w[i]){
            way[tot++]=i;
            j-=v[i];
        }
     }
     for(int i=0;i<tot;++i)
        cout<<way[i]<<" ";
}

11. 背包问题求方案数

思路： 因为要统计具体的方案数，所以避免容斥。状态定义为：f[i,j]前i种商品总选择，体积恰好是j件可获得的最大价值，g[i,j]前i种商品总选择，体积恰好是j件可获得的最大价值的方案数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1001;
const int mod=1e9+7;
int f[N],num[N];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    memset(f,-0x3f,sizeof f);
    num[0]=1;
    f[0]=0;
    for(int i=1,w,v;i<=n;++i){
        cin>>v>>w;
        for(int j=m;j>=v;--j){
            int maxv=max(f[j-v]+w,f[j]),cnt=0;
            if(maxv==f[j-v]+w) cnt+=num[j-v];
            if(maxv==f[j]) cnt+=num[j];
            num[j]=cnt%mod;
            f[j]=maxv;
        }
    }
    int maxv=0;
    for(int j=0;j<=m;++j){
        maxv=max(maxv,f[j]);
    }
    int res=0;
    for(int j=0;j<=m;++j){
        if(f[j]==maxv) res=(res+num[j])%mod;
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

734. 能量石
思路： 首先显然有一个贪心思路（类似国王的游戏很容易证明），\(s_i*l_i<s_j*l_j\)，选择的顺序就是i<j。所以先按s*l升序排序。然后根据题目中的定义直接做01背包。01背包需要定义为体积恰好是j，因为问题对时间的要求是精准的，而不是一个范围。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10010; 
struct stone{
  int s,e,l;
  bool operator<(const stone & b)const {
      return s*b.l<b.s*l;
  }
}a[N];
int f[N];
int main(){
    int T;
    cin>>T;
    for(int cas=1;cas<=T;++cas){
        int n,m=0;
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            cin>>a[i].s>>a[i].e>>a[i].l;
            m+=a[i].s;
        }
        sort(a+1,a+1+n);
        memset(f,-0x3f,sizeof f);
        f[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            int s=a[i].s,e=a[i].e,l=a[i].l;
            for(int j=m;j>=s;--j){
                f[j]=max(f[j],f[j-s]+e-(j-s)*l);
            }
        }
        int res=0;
        for(int i=0;i<=m;++i) res=max(res,f[i]);
        cout<<"Case #"<<cas<<": "<<res<<endl;
    }
    return 0;
}

01背包

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