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UVA-12304 2D Geometry 110 in 1! (有关圆的基本操作)

时间:2020-03-26 01:43:33      阅读:279      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:ima   ati   cos   scanf   调整   方法   ntc   函数   parallel   

UVA-12304 2D Geometry 110 in 1!

该问题包含以下几个子问题

  1. CircumscribedCircle x1 y1 x2 y2 x3 y3 : 三角形外接圆

  2. InscribedCircle x1 y1 x2 y2 x3 y3: 三角形内接圆

  3. TangentLineThroughPoint xc yc r xp yp 过一点做圆的切线

  4. CircleThroughAPointAndTangentToALineWithRadius xp yp x1 y1 x2 y2 r:找到半径为r,通过p点,并且与直线L相切的圆

  5. CircleTangentToTwoLinesWithRadius x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 r:与两条直线相切,并且半径为r

  6. CircleTangentToTwoDisjointCirclesWithRadius x1 y1 r1 x2 y2 r2 r:求出所有与这两个圆外切,半径为r的圆

下面代码很多都是在模板基础上面写的:几何模板

1. 求三角形的外接圆

技术图片

根据初中知识,三边垂直平分线的交点就是圆心,求出圆心很容易可以求出半径,所以现在需要求一个线段的垂直平分线,以及两条线段的交点。线段的中点可以用两端点取平均来求,垂直平分线可以用将向量\(\vec{AB}\) 转90度得到向量,在线段中点基础上就可以得到垂直平分线了。

// circle 结构体的构造函数
circle(Point a, Point b, Point c){
    Line u = Line((a+b)/2,((a+b)/2)+((b-a).rotleft()));
    Line v = Line((b+c)/2,((b+c)/2)+((c-b).rotleft()));
    p = u.crosspoint(v); // p 为 u 与 v 的交点
    r = p.distance(a);
}

2. 求三角形的内接圆

技术图片

circle(Point a, Point b, Point c, bool t){
    Line u, v;
    // u 为角 a 的平分线, m 为ab向量极角,n为ac向量极角,取平均得到角平分线的极角
    db m  = atan2(b.y-a.y, b.x-a.x), n = atan2(c.y - a.y, c.x - a.x);
    u.s = a;
    u.e = u.s + Point(cos((n+m)/2), sin((n+m)/2)); // u.s + 角平分线单位向量得到角平分线
    // v 为角 b 的平分线
    m = atan2(a.y-b.y, a.x-b.x), n = atan2(c.y-b.y, c.x-b.x);
    v.s = b;
    v.e = v.s + Point(cos((n+m)/2), sin((n+m)/2));
    p = u.crosspoint(v); // 得到圆心
    r = Line(a,b).dispointtoseg(p);
}

3. 过一点做圆的切线

首先判断点与圆的关系

  • 若点在圆内,则没有通过该点的切线d
  • 若点在圆上,可以通过将圆心连向它的线段转90度得到切线
  • 若点在圆外,如下图所示,我们可以计算出\(\ang CAB\) ,进而计算出\(|\vec{AD}|,|\vec{DC}|\),然后在A的基础上加上这两个向量得到C,进而得到一条切线,下面的切点可以用同样的方法得到。

技术图片

/*
        点和圆的关系
        0 圆外
        1 圆上
        2 圆内
*/
int relation(Point b){
    db dst = b.distance(p);
    if(sgn(dst - r) < 0) return 2;
    else if(sgn(dst - r) == 0) return 1;
    return 0;
}
// 过一点作圆的切线 (先判断点和圆的关系)
int tangentline(Point q, Line &u, Line &v){
    int x = relation(q);
    if(x == 2) return 0; //圆内
    if(x == 1){ //圆上
        u = Line(q, q+(q-p).rotleft());
        v = u;
        return 1;
    }
    db d = p.distance(q); // 得到AB向量的大小
    db l = r * r / d;	// 通过余弦定理,得到 AD向量大小
    db h = sqrt(r * r - l * l);	// 通过勾股定理求出DC向量大小
    // vec.trunc(r) 表示将vec向量大小调整为r, rotleft表示逆时针旋转90度
    u = Line(q, p + ((q - p).trunc(l) + (q - p).rotleft().trunc(h)));
    v = Line(q, p + (q - p).trunc(l) + (q - p).rotright().trunc(h));
    return 2;
}

4. 找到半径为r,通过p点,并且与直线L相切的圆

先讨论 p 点与 L 的距离 dis

  • \(dis \gt 2*r\) ,则没有这样的圆

  • \(dis = 0\) ,则p 点在直线上,利用前面提到的方法,得到一个长度为 r 的向量,并且与直线夹角为90度,与 p 相加后可以得到圆心。(这样的圆心有两个)

  • 其他情况可以见下图:

    技术图片

    红线为L,绿线为平行线,红线与绿线的长度为 r,以 p 为圆心,r为半径做圆,与平行线交于两点(只有可能是两个点),这两点就是符合题意的圆的圆心

// 得到与直线 u 相切,过点 q, 半径为 r1 的圆
int getcircle(Line u, Point q, db r1, circle &c1, circle &c2){
    db dis = u.dispointtoline(q); // 直线 u 与 q 的距离
    if(sgn(dis - r1 * 2) > 0) return 0;// dis > r1 * 2
    if(sgn(dis) == 0){	// q 在 u 上面
        c1.p = q + ((u.e - u.s).rotleft().trunc(r1));
        c2.p = q + ((u.e - u.s).rotright().trunc(r1));
        c1.r = c2.r = r1;
        return 2;
    }
    // u1, u2 为两条平行线
    Line u1 = Line((u.s + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1)), (u.e + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1)));
    Line u2 = Line((u.s + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1)), (u.e + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1)));
    circle cc = circle(q, r1);
    Point p1, p2;
    // cc 与 u1,u2 两条线中的一个相交
    if(!cc.pointcrossline(u1, p1, p2)) cc.pointcrossline(u2, p1, p2);
    c1 = circle(p1, r1);
    if(p1 == p2){ // 可能两个圆是重合的,这个对应 dis = 2*ri 的情况
        c2 = c1;
        return 1;
    }
    c2 = circle(p2, r1);
    return 2;
}

5. 与两条直线l1,l2相切,并且半径为r

题目保证了两条直线不是相交的,但是不妨思考一下,如果是平行的话,只有可能是 0 或者是无限个

对于不相交的情况,先上图再说(红色为l1和l2,蓝色为平行线)

技术图片

相信你一看图就明白了,就是找到两个直线的平行线求交点,这样的交点一定有四个。

// 同时与直线u,v相切,半径为r1的圆 
int getcircle(Line u, Line v, db r1, circle &c1, circle &c2, circle &c3, circle &c4){
    if(u.parallel(v)) return 0;
    Line u1 = Line(u.s + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1), u.e + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1));
    Line u2 = Line(u.s + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1), u.e + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1));
    Line v1 = Line(v.s + (v.e - v.s).rotleft().trunc(r1), v.e + (v.e - v.s).rotleft().trunc(r1));
    Line v2 = Line(v.s + (v.e - v.s).rotright().trunc(r1), v.e + (v.e - v.s).rotright().trunc(r1));

    c1.r = c2.r = c3.r = c4.r = r1;
    c1.p = u1.crosspoint(v1);
    c2.p = u1.crosspoint(v2);
    c3.p = u2.crosspoint(v1);
    c4.p = u2.crosspoint(v2);
    return 4;
}

6. 求出所有与两个圆c1, c2外切,半径为r的圆

技术图片

将 c1 与 c2 半径都扩大 r,求扩大的两个圆的交点即可。如何求圆的交点?

技术图片

三角形\(\triangle ABE\) 三边都是确定的,由余弦定理求出\(\ang \alpha\) 的角度,然后来求出 E

/*
    两圆的关系
    5 相离
    4 外切
    3 相交
    2 内切
    1 内含
*/
int relationcircle(circle v){
    db d = p.distance(v.p);
    if(sgn(d - r - v.r) > 0) return 5;
    if(sgn(d - r - v.r) == 0) return 4;
    db l = fabs(r - v.r);
    if(sgn(d - r - v.r) < 0 && sgn(d - l) > 0) return 3;
    if(sgn(d - l) == 0) return 2;
    if(sgn(d - l) < 0) return 1;
}
/*
    求两个圆的交点,返回0表示没有交点,返回1是一个交点,2是两个交点
*/
int pointcrosscircle(circle v, Point &p1, Point &p2){
    int rel = relationcircle(v);
    // 相离或者内含
    if(rel == 1 || rel == 5) return 0; 
    // d 为圆心距,下面求E的方法类似问题3
    db d = p.distance(v.p); 
    db l = (d * d + r * r - v.r * v.r) / (2 * d);
    db h = sqrt(r * r - l * l);
    Point tmp = p + (v.p - p).trunc(l);
    p1 = tmp + ((v.p - p).rotleft().trunc(h));
    p2 = tmp + ((v.p - p).rotright().trunc(h));
    if(rel == 2 || rel == 4)return 1;
    return 2;
}
// 同时与不相交圆 cx, cy 相切,半径为r1的圆
int getcircle(circle cx, circle cy, db r1, circle &c1, circle &c2){
    // 得到两个更大的圆
    circle x(cx.p, r1+cx.r), y(cy.p, r1+cy.r);
    // 求两个圆的交点
    int t = x.pointcrosscircle(y, c1.p, c2.p);
    if(!t) return 0;
    c1.r = c2.r = r1;
    return t;
}

AC代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
#define dbg(x...) do { cout << "\033[32;1m" << #x <<" -> "; err(x); } while (0)
void err() { cout << "\033[39;0m" << endl; }
template<class T, class... Ts> void err(const T& arg,const Ts&... args) { cout << arg << " "; err(args...); }
const int N = 100 + 5;
typedef double db;
const db eps = 1e-8;
const db pi = acos(-1.0);
int sgn(db x){
    if(fabs(x) < eps) return 0;
    if(x < 0) return -1;
    return 1;
}

struct Point{
    db x, y;
    Point(){}
    Point(db x, db y):x(x), y(y){}
    void input(){
        scanf("%lf%lf",&x, &y);
    }
    bool operator == (Point b)const {
        return sgn(x-b.x) == 0 && sgn(y-b.y) == 0;
    }
    bool operator < (Point b)const{
        return sgn(x-b.x) == 0 ? sgn(y - b.y) < 0 : x < b.x;
    }
    Point operator - (const Point &b)const{
        return Point(x - b.x, y - b.y);
    }
    db operator ^ (const Point &b)const{
        return x * b.y - y * b.x;
    }
    db operator * (const Point &b)const{
        return x * b.x + y * b.y;
    }
    // 返回长度
    db len(){
        return hypot(x, y);
    } 
    // 返回长度平方
    db len2(){
        return x * x + y * y;
    }
    //返回两点距离 
    db distance(Point p){
        return hypot(x - p.x, y - p.y);
    }
    Point operator + (const Point &b)const{
        return Point(x + b.x, y + b.y);
    }
    Point operator * (const db &k) const {
        return Point(x * k,  y * k);
    }
    Point operator /(const db &k)const {
        return Point(x / k, y / k);
    }
    // 逆时针旋转90度
    Point rotleft(){
        return Point(-y, x);
    }
    // 顺时针转90度
    Point rotright(){
        return Point(y, -x);
    }
    // 化为长度为 r 的向量
    Point trunc(db r){
        db l = len();
        if(!sgn(l)) return *this;
        r /= l;
        return Point(x*r, y*r);
    }
};
struct Line{
    Point s, e;
    Line(){}
    Line(Point s, Point e):s(s),e(e){}
    void input(){
        s.input();
        e.input();
    }
    db dispointtoline(Point p){
        return fabs((p-s) ^ (e-s)) / length();
    }
    db length(){
        return s.distance(e);
    }
    // 返回直线倾斜角 0 <= angle < pi
    db angle(){
        db k = atan2(e.y - s.y, e.x - s.x);
        if(sgn(k) < 0) k += pi;
        if(sgn(k - pi) == 0) k -= pi;
        return k;
    }
    // 点到线段的距离
    db dispointtoseg(Point p){
        if(sgn((p-s)*(e-s)) < 0 || sgn((p-e) * (s-e)) < 0)
            return min(p.distance(s), p.distance(e));
        return dispointtoline(p);
    } 
    Point crosspoint(Line v){
        db a1 = (v.e - v.s) ^ (s - v.s);
        db a2 = (v.e - v.s) ^ (e - v.s);
        return Point((s.x * a2 - e.x * a1) / (a2 - a1), (s.y * a2 - e.y * a1) / (a2 - a1));
    }
    /*
        返回 p 在直线上的投影
    */
    Point lineprog(Point p){
        return s + ( ((e-s)*((e-s)*(p-s)))/((e-s).len2()) );
    }
    // 两向量平行(对应直线平行或重合)
    bool parallel(Line v){
        return sgn((e - s) ^ (v.e - v.s)) == 0;
    }
};
struct circle{
    Point p;
    db r;
    circle(){}
    circle(Point p, db r):p(p), r(r){}
    bool operator < (circle b)const{
        return p < b.p;
    }
    void input(){
        p.input();
        // 注意类型
        scanf("%lf", &r);
    }
    /*
        三角形的外接圆
        需要Point 的 + / rotate() 以及 Line 的crosspoint()
        利用两条边的中垂线得到圆心
        UVA 12304
    */
    circle(Point a, Point b, Point c){
        Line u = Line((a+b)/2,((a+b)/2)+((b-a).rotleft()));
        Line v = Line((b+c)/2,((b+c)/2)+((c-b).rotleft()));
        p = u.crosspoint(v);
        r = p.distance(a);
    }
    /*
        三角形的内切圆
        bool t 没有作用,只是为了和上面外接圆函数区别
        UVA 12304
    */
    circle(Point a, Point b, Point c, bool t){
        Line u, v;
        // u 为角 a 的平分线
        db m  = atan2(b.y-a.y, b.x-a.x), n = atan2(c.y - a.y, c.x - a.x);
        u.s = a;
        u.e = u.s + Point(cos((n+m)/2), sin((n+m)/2));
        // v 为角 b 的平分线
        m = atan2(a.y-b.y, a.x-b.x), n = atan2(c.y-b.y, c.x-b.x);
        v.s = b;
        v.e = v.s + Point(cos((n+m)/2), sin((n+m)/2));
        p = u.crosspoint(v);
        r = Line(a,b).dispointtoseg(p);
    }
    /*
        点和圆的关系
        0 圆外
        1 圆上
        2 圆内
    */
   int relation(Point b){
       db dst = b.distance(p);
       if(sgn(dst - r) < 0) return 2;
       else if(sgn(dst - r) == 0) return 1;
       return 0;
   }
    /*
        线段和圆的关系
        比较的是圆心到线段的距离和半径的关系
        2 交
        1 切
        0 不交
   */
    int relation(Line v){
        db dst = v.dispointtoseg(p);
        if(sgn(dst - r) < 0) return 2;
        else if(sgn(dst - r) == 0) return 1;
        return 0;
    }
    int relationline(Line v){
        db dst = v.dispointtoline(p);
        if(sgn(dst - r) < 0) return 2;
        else if(sgn(dst - r) == 0) return 1;
        return 0;
    }
    // 过一点作圆的切线 (先判断点和圆的关系)
    int tangentline(Point q, Line &u, Line &v){
        int x = relation(q);
        if(x == 2) return 0; //圆内
        if(x == 1){ //圆上
            u = Line(q, q+(q-p).rotleft());
            v = u;
            return 1;
        }
        db d = p.distance(q);
        db l = r * r / d;
        db h = sqrt(r * r - l * l);
        u = Line(q, p + ((q - p).trunc(l) + (q - p).rotleft().trunc(h)));
        v = Line(q, p + (q - p).trunc(l) + (q - p).rotright().trunc(h));
        return 2;
    }
    // 求直线与圆的交点,返回交点个数
    int pointcrossline(Line v, Point &p1, Point &p2){
        if(!(*this).relationline(v)) return 0;
        Point a = v.lineprog(p);
        db d = v.dispointtoline(p);
        d = sqrt(r * r - d * d);
        if(sgn(d) == 0){
            p1 = a;
            p2 = a;
            return 1;
        }
        p1 = a + (v.e - v.s).trunc(d);
        p2 = a - (v.e - v.s).trunc(d);
        return 2;
    }
    // 得到与直线 u 相切,过点 q, 半径为 r1 的圆
    int getcircle(Line u, Point q, db r1, circle &c1, circle &c2){
        db dis = u.dispointtoline(q);
        if(sgn(dis - r1 * 2) > 0) return 0;
        if(sgn(dis) == 0){
            c1.p = q + ((u.e - u.s).rotleft().trunc(r1));
            c2.p = q + ((u.e - u.s).rotright().trunc(r1));
            c1.r = c2.r = r1;
            return 2;
        }
        Line u1 = Line((u.s + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1)), (u.e + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1)));
        Line u2 = Line((u.s + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1)), (u.e + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1)));
        circle cc = circle(q, r1);
        Point p1, p2;
        if(!cc.pointcrossline(u1, p1, p2)) cc.pointcrossline(u2, p1, p2);
        c1 = circle(p1, r1);
        if(p1 == p2){
            c2 = c1;
            return 1;
        }
        c2 = circle(p2, r1);
        return 2;
    }
    // 同时与直线u,v相切,半径为r1的圆 
    int getcircle(Line u, Line v, db r1, circle &c1, circle &c2, circle &c3, circle &c4){
        if(u.parallel(v)) return 0;
        Line u1 = Line(u.s + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1), u.e + (u.e - u.s).rotleft().trunc(r1));
        Line u2 = Line(u.s + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1), u.e + (u.e - u.s).rotright().trunc(r1));
        Line v1 = Line(v.s + (v.e - v.s).rotleft().trunc(r1), v.e + (v.e - v.s).rotleft().trunc(r1));
        Line v2 = Line(v.s + (v.e - v.s).rotright().trunc(r1), v.e + (v.e - v.s).rotright().trunc(r1));
        
        c1.r = c2.r = c3.r = c4.r = r1;
        c1.p = u1.crosspoint(v1);
        c2.p = u1.crosspoint(v2);
        c3.p = u2.crosspoint(v1);
        c4.p = u2.crosspoint(v2);
        return 4;
    }
    /*
        两圆的关系
        5 相离
        4 外切
        3 相交
        2 内切
        1 内含
    */
    int relationcircle(circle v){
        db d = p.distance(v.p);
        if(sgn(d - r - v.r) > 0) return 5;
        if(sgn(d - r - v.r) == 0) return 4;
        db l = fabs(r - v.r);
        if(sgn(d - r - v.r) < 0 && sgn(d - l) > 0) return 3;
        if(sgn(d - l) == 0) return 2;
        if(sgn(d - l) < 0) return 1;
    }
    /*
        求两个圆的交点,返回0表示没有交点,返回1是一个交点,2是两个交点
    */
    int pointcrosscircle(circle v, Point &p1, Point &p2){
        int rel = relationcircle(v);
        if(rel == 1 || rel == 5) return 0;
        db d = p.distance(v.p);
        db l = (d * d + r * r - v.r * v.r) / (2 * d);
        db h = sqrt(r * r - l * l);
        Point tmp = p + (v.p - p).trunc(l);
        p1 = tmp + ((v.p - p).rotleft().trunc(h));
        p2 = tmp + ((v.p - p).rotright().trunc(h));
        if(rel == 2 || rel == 4)return 1;
        return 2;
    }
    // 同时与不相交圆 cx, cy 相切,半径为r1的圆
    int getcircle(circle cx, circle cy, db r1, circle &c1, circle &c2){
        circle x(cx.p, r1+cx.r), y(cy.p, r1+cy.r);
        int t = x.pointcrosscircle(y, c1.p, c2.p);
        if(!t) return 0;
        c1.r = c2.r = r1;
        return t;
    }
};
string op;
int main(){
    while(cin >> op){
        if(op == "CircumscribedCircle"){
            Point a, b, c;
            a.input();b.input();c.input();
            circle C(a, b, c);
            printf("(%.6f,%.6f,%.6f)\n", C.p.x, C.p.y, C.r);
        }else if(op == "InscribedCircle"){
            Point a, b, c;
            a.input();b.input();c.input();
            circle C(a, b, c, true);
            printf("(%.6f,%.6f,%.6f)\n", C.p.x, C.p.y, C.r);
        }else if(op == "TangentLineThroughPoint"){
            Point p;
            circle c;
            c.input();p.input();
            Line l[2];
            int cnt = c.tangentline(p, l[0], l[1]);
            sort(l, l+cnt, [](Line a, Line b){return a.angle() < b.angle();});
            printf("[");
            for(int i=0;i<cnt;i++){
                if(i) printf(",");
                printf("%.6f", l[i].angle()/pi*180);
            }
            printf("]\n");
        }else if(op == "CircleThroughAPointAndTangentToALineWithRadius"){
            Point p;
            Line l;
            db r;
            p.input();l.input();scanf("%lf", &r);
            circle c[2];
            int cnt = circle().getcircle(l, p, r, c[0], c[1]);
            sort(c,c+cnt);
            printf("[");
            for(int i=0;i<cnt;i++){
                if(i) printf(",");
                printf("(%.6f,%.6f)",c[i].p.x,c[i].p.y);
            }
            printf("]\n");
        }else if(op == "CircleTangentToTwoLinesWithRadius"){
            Line l[2];
            db r;
            l[0].input();l[1].input();
            scanf("%lf", &r);
            circle c[4];
            int cnt = circle().getcircle(l[0], l[1], r, c[0], c[1], c[2], c[3]);
            sort(c,c+cnt);
            printf("[");
            for(int i=0;i<cnt;i++){
                if(i) printf(",");
                printf("(%.6f,%.6f)",c[i].p.x,c[i].p.y);
            }
            printf("]\n");
        }else if(op == "CircleTangentToTwoDisjointCirclesWithRadius"){
            circle c1, c2, c[4];
            c1.input();c2.input();
            db r;scanf("%lf", &r);
            int cnt = circle().getcircle(c1, c2, r, c[0], c[1]);
            sort(c, c+cnt);
            printf("[");
            for(int i=0;i<cnt;i++){
                if(i) printf(",");
                printf("(%.6f,%.6f)",c[i].p.x,c[i].p.y);
            }
            printf("]\n");
        }
    }

    return 0;
}

UVA-12304 2D Geometry 110 in 1! (有关圆的基本操作)

标签:ima   ati   cos   scanf   调整   方法   ntc   函数   parallel   

原文地址:https://www.cnblogs.com/1625--H/p/12571633.html

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