hdu - 4790 - Just Random（容斥 + 组合数学）

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题意：在 [a, b] 取一个整数 x，在 [c, d] 取一个整数 y，求满足 (x + y) % p = m 的 (x, y) 的对数(0 <= a <= b <= 10 ^ 9, 0 <=c <= d <= 10 ^ 9, 0 <= m < p <= 10 ^ 9)。

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4790

——>>2013年成都区赛最后一题，当时TLE6次无果。。。。加上 B 的无限WA，铁铁地铁了。。

。。。。。。。

设 F(a, b) 表示 [0, a] 取 x，[0, b] 取 y 的满足条件的 (x, y) 对数，则：

结果 = F(b, d) - F(a - 1, d) - F(c - 1, b) + F(a - 1, c - 1)

怎么求 F 呢？

因为 (x + y) % p，所以，可以 (x % p + y % p) % p

[0, a] 各点依次 % p 后的序列是：0, 1, 2, ..., p - 1,  0, 1, 2, ..., p - 1,0, 1, 2, ...（共 (a + 1) / p 个完整周期）

[0, b] 各点依次 % p 后的序列是：0, 1, 2, ..., p - 1,  0, 1, 2, ..., p - 1, 0, 1, 2, ...（共 (b + 1) / p 个完整周期）

[0, a] 上的一个完整周期，和 [0, b] 上的一个完整周期组合，可以得到 p 个 (x, y) 满足条件（前者取一个数x, 后者一定可以找到一个相应的 y，使得(x + y) % p = m，这时将x, y同比例一个增大一个减小，得到的 (x + k, y - k) 也满足条件。。共有 p 个）。。

所以，[0, a] 的完整区间与 [0, b] 的完整区间组合，可得到 ((a + 1) / p) *((b + 1) / p)* p 个 (x, y) 满足条件（蓝色这层括号不可少！！）。。

设 ar = (a + 1) % p

设 br = (b + 1) % p

[0, a] 最后剩下的不完整片段为 0, 1, 2, ..., ar - 1

[0, b] 最后剩下的不完整片段为 0, 1, 2, ..., br - 1

[0, a] 的剩余区间 [0, ar - 1]，与 [0, b] 的一个完整区间 [0, p - 1] 组合，可得到 ar 个满足要求的 (x, y) 。。

[0, b] 的剩余区间 [0, br - 1]，与 [0, a] 的一个完整区间 [0, p - 1] 组合，可得到 br 个满足要求的 (x, y) 。。

[0, a] 的剩余区间 [0, ar - 1]，与 [0, b] 的所有完整区间 [0, p - 1] 组合，可得到 ar *((b + 1) / p)个满足要求的 (x, y) 。。

[0, b] 的剩余区间 [0, br - 1]，与 [0, a] 的所有完整区间 [0, p - 1] 组合，可得到 br * ((a + 1) / p)个满足要求的 (x, y) 。。

先来一次--ar, --br，方便后面处理。。

如果在 [0, br] 上取0，[0, ar] 上就必须取 m，但是 m 能不能取到呢？不一定，要对 m 进行分类讨论。。

当 ar > m 时，对于区间 [0, ar]（别用 >= 放到这里来哦：原因请测试 0 0 0 0 10 0 这组样例）：

这样移动：0 <-- m，[0, br] 上这样移动：0 --> xx，此时可得到 min(m + 1, br + 1)个满足要求的 (x, y)。。

这样移动：<-- ar，要使 (ar + y ) % p = m，则最小的 miny = (m - ar + p) % p，如果 miny <= br，则可得到 br - miny + 1 个满足要求的 (x, y)。。（这个地方要想通哦，为什么ar往左的时候不用固定边界？当 y 到达右边界 br，而 x 未到 m 时，说明 (m, x) 之间的数需要 y 取小于0 的数或者大于 br 的数才可以，这是不可能的；当 x 越过了 m 时，说明 [x, m] 之间的数既可以取两个不同的位置，并不是重复）

当 ar < m 时，对于区间 [0, ar]：

即使 [0, br] 上取 y = 0 时不可行的。。

要使 (ar + y ) % p = m，则最小的 miny = (m - ar + p) % p，如果 miny <= br，则可得到 min(ar + 1, br - miny + 1) 个满足要求的 (x, y)。。

当 ar == m 时，可得 min(ar + 1, br + 1) 个满足要求的(x, y)。。

于是可求得 F ，继续求得最终的结果。。

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using std::min;

typedef long long ll;

ll F(ll a, ll b, ll p, ll m)
{
    if (a < 0 || b < 0) return 0;

    ll ret = 0;

    ret =  ((a + 1) / p) * ((b + 1) / p) * p;
    ll ar = (a + 1) % p;
    ll br = (b + 1) % p;
    if (!ar && !br) return ret;

    if (ar)
    {
        ret += ar * ((b + 1) / p);
    }
    if (br)
    {
        ret += br * ((a + 1) / p);
    }
    if (!ar || !br) return ret;

    --ar;
    --br;
    ll miny = (m - ar + p) % p;
    if (ar > m)
    {
        ret += min(m + 1, br + 1);
        if (miny <= br)
        {
            ret += br - miny + 1;
        }
    }
    else if (ar < m)
    {
        if (miny <= br)
        {
            ret += min(ar + 1, br - miny + 1);
        }
    }
    else
    {
        ret += min(ar + 1, br + 1);
    }

    return ret;
}

ll Gcd(ll a, ll b)
{
    return b == 0 ? a : Gcd(b, a % b);
}

int main()
{
    int T, kase = 0;
    ll a, b, c, d, p, m;

    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &c, &d, &p, &m);
        ll A = F(b, d, p, m) - F(a - 1, d, p, m) - F(c - 1, b, p, m) + F(a - 1, c - 1, p, m);
        ll B = (b - a + 1) * (d - c + 1);
        ll gcd = Gcd(A, B);
        printf("Case #%d: %I64d/%I64d\n", ++kase, A / gcd, B / gcd);
    }

    return 0;
}

hdu - 4790 - Just Random（容斥 + 组合数学）

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原文地址：http://blog.csdn.net/scnu_jiechao/article/details/40818903