求数列通项公式的小众方法

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前言

以下的这些求数列的通项公式的方法都比较小众，不是主流的高考考查方法，在此只是作以整理；

不动点法

山东的一位老师提供，不动点法说明：【百度】

若\(f(x)=x\)，则称\(x\)为方程的不动点；

令\(x=\cfrac{1}{2}(x+\cfrac{1}{x})\)，则\(x^2=1\)，解得\(x=\pm 1\)是\(f(x)=\cfrac{1}{2}(x+\cfrac{1}{x})\)的两个不动点；

例1已知数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=\cfrac{1}{2}(a_n+\cfrac{1}{a_n})\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；

分析：\(\cfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}=\cfrac{\frac{1}{2}\cdot \frac{a_n^2+1}{a_n}+1}{\frac{1}{2}\cdot \frac{a_n^2+1}{a_n}-1}=\cfrac{a_n^2+2a_n+1}{a_n^2+2a_n+1}=\big(\cfrac{a_n+1}{a_n-1}\big)^2\)，

令\(b_{n+1}=\cfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}\)，则上述表达式变形为\(b_{n+1}=b_n^2\)，

对上式两边同时取常用对数，得到\(lg b_{n+1}=2lg b_n\)，

又由于\(b_1=\cfrac{a_{1}+1}{a_{1}-1}=\cfrac{2+1}{2-1}=3\)，则\(lgb_1=lg3\)，

则数列\(\{lg b_n\}\)为等比数列，首项为\(lg3\)，公比为\(2\)，

故有\(lg b_n=(lgb_1)\cdot 2^{n-1}=(lg3)\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}lg3=lg3^{2^{n-1}}\)，

故\(b_n= 3^{2^{n-1}}\)，即\(\cfrac{a_n+1}{a_n-1}= 3^{2^{n-1}}\)，

解得，\(a_n=\cfrac{3^{2^{n-1}}+1}{3^{2^{n-1}}-1}\)；

• 赋值法，如\(a_{n+m}=a_n\cdot a_m\)，令\(m=1\)即\(a_{n+1}=a_1\cdot a_n\)，不就是等比数列嘛；

• 赋值法，如\(a_{n+m}=a_n+a_m\)，令\(m=1\)即\(a_{n+1}=a_n+a_1\)，不就是等差数列嘛；

• 形如\(a_{n+1}\cdot a_n = 2^n\) 得到\(\cfrac{a_{n+2}}{a_n} = 2\)，则可知所有奇数项、偶数项各自成等比数列。

• 形如\(a_{n+1}+a_n =2n\) 得到\(a_{n+2}-a_n= 2\)，则可知所有奇数项、偶数项各自成等差数列。

• 取对数法，如$a_{n+1}=p\cdot a_n^m $，p，m 为常数，两边取对数构造等比数列。(考查概率很小很小)

• 解方程法，如\(a_n^2-2n\cdot a_n - 1 = 0\)，\(a_n>0\)，解方程即可。 (考查概率很小很小)

求数列通项公式的小众方法

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原文地址：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/12570404.html