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【11】三个重要统计量的分布(1)

假设检验问题的基础内容，三大抽样分布在多元形态下的推广。

分量独立的 \(n\) 维随机向量\(X\)的二次型

\(\chi^2\)得复习节。。。

设\(X_i\sim N_1(\mu_i,\sigma^2)(i=1,...,n)\)，且相互独立，记

则\(X\sim N_n(\mu=(\mu_1,...,\mu_n)‘,\sigma^2I_n)\).

• 当\(\mu_i=0,(i=1,...,n),\sigma^2=1\)时（每一个都是标准正态）：

• 当\(\mu_i=0,\sigma^2\neq1\)时，（凑成标准正态）

• 当\(\color{red}\mu_i\neq0\)时，\(X‘X\)的分布称为非中心\(\chi^2\)分布。

(def)

设 \({r.v.}\ X_{n\times1}\sim N_n(\mu,I_n),(\mu\neq0)\)，则称 \(\xi=X‘X\) 为服从 \(n\) 个自由度，非中心参数 \(\delta=\mu‘\mu=\sum_{i=1}^n\mu^2_i\) 的 \(\chi^2\) 分布，记为：

\[X‘X\sim\chi^2(n,\delta)\color{gray}or\color{black}\chi^2_{n}(\delta) \]

(推广)

如何将一般的正态随机向量 (协方差矩阵不是单位阵) 转化成服从 \(\chi^2\)分布。

设\(X\sim N_p(\mu,\Sigma>0)\),则\(X‘\Sigma^{-1}X\sim\chi^2(p,\delta=\mu‘\Sigma^{-1}\mu)\).

由于\(\Sigma\)是正定矩阵，则可以分解为非退化方阵的乘积：\(\Sigma=CC‘\)，则令 \(Y=C^{-1}X\)，于是有：

\[Y\sim N(C^{-1}\mu,C^{-1}\Sigma(C^{-1})‘) \]

因为\(\Sigma=CC‘\)所以，\(Y\sim N_p(C^{-1}\mu,I_n)\),且有：

\[X‘\Sigma^{-1}X=Y‘C‘\Sigma^{-1}CY=Y‘Y\sim \chi^2(p,\delta) \]

其中：

\[\delta=(C^{-1}\mu)‘(C^{-1}\mu)=\mu‘\Sigma^{-1}\mu \]

• (对称幂等矩阵)

【结论很重要】

设\(X\sim N_n(0_n,\sigma^2I_n)\), \(A\) 为对称矩阵，\(rank(A)=r\) ，则二次型：\(\frac{X‘AX}{\sigma^2}\sim\chi^2(r)\Leftrightarrow A^2=A\).

\(\rightrightarrows\)

因为 \(A\) 是对称矩阵，所以存在正交阵 \(\Gamma\) 使得：

\[\Gamma‘A\Gamma=diag(\lambda_1,...,\lambda_r,0,...,0) \]

令

\[Y=\Gamma‘X\sim N_n(0_n,\sigma^2I_n)，X=\Gamma Y \]

则

\[\xi=X‘AX/\sigma^2=Y‘\Gamma‘A\Gamma Y/\sigma^2=\sum_{i=1}^r\lambda_iY_i^2/\sigma^2 \]

且\(Y_1,...,Y_r\)独立同\(N(0,\sigma^2)\)分布，因此，\(Y_i^2/\sigma^2\sim\chi^2(1),(i=1,...,r)\),且相互独立。

\(\sum_{i=1}^r\lambda_iY_i^2/\sigma^2\)的特征函数为：

\[(1-2i\lambda_1t)^{-1/2}(1-2i\lambda_2t)^{-1/2}...(1-2i\lambda_rt)^{-1/2} \]

又因为\(\xi=X‘AX/\sigma^2\sim\chi^2(r)\),因此他的特征函数为：

\[(1-2it)^{-r/2}=(1-2i\lambda_1t)^{-1/2}(1-2i\lambda_2t)^{-1/2}...(1-2i\lambda_rt)^{-1/2} \]

比较得：\(\lambda_1=...=\lambda_r=1\),于是：

\[diag(1,...,1,0,...,0)=\Gamma‘A\Gamma=\Gamma‘A\Gamma\cdot\Gamma‘A\Gamma=\Gamma‘A^2\Gamma \]

所以\(A\)是对称幂等矩阵。

\(\leftleftarrows\)

对称幂等矩阵的特征值非0即1，且只有r个非0特征值，即：

\[\Gamma‘A\Gamma=\left[\begin{array}{cc}I_r&O\\O&O\end{array}\right] \]

令\(Y=\Gamma‘X\),则 \(Y\sim N_n(0_n,\sigma^2\Gamma‘I_n\Gamma)=N_n(0_n,\sigma^2I_n)\).

\[\frac{X‘AX}{\sigma^2}=\frac{Y‘\Gamma‘A\Gamma Y}{\sigma^2}=\frac1{\sigma^2}Y‘\left[\begin{array}{cc}I_r&O\\O&O\end{array}\right]Y=\frac1{\sigma^2}\sum_{i=1}^rY_i^2\sim\chi^2(r) \]

• (二次型与线性函数的独立性)

设\(X\sim N_n(\mu,\sigma^2I_n)\)，\(A\)为\(n\)阶对称矩阵，\(B\)为\(m\times n\)矩阵，令 \(\xi=X‘AX，Z_{m\times1}=BX\) ，若 \(BA=O\) , 则\(BX,X‘AX\) 相互独立。

顺序不能换。

• (两个二次型相互独立)

设\(X\sim N_n(\mu,\sigma^2I_n)\) , \(A,B\) 为 \(n\) 阶对称矩阵，则：

\(\chi^2\to Wishart\)分布

设\(X_{(\alpha)}\sim N_p(0,\Sigma),(\alpha=1,...,n)\)相互独立，记\(X=(X_{(1)},...,X_{(n)})‘\)为\(n\times p\)维矩阵，则称

的分布为\(\color{red}Wishart\)分布，记为：\(W\sim W_p(n,\Sigma)\).

• 当\(p=1\)时，\(X_{(\alpha)}\sim N_1(0,\sigma^2),W=\sum X_{(\alpha)}^2\sim\sigma^2\chi^2(n)\).

一般的，\(X_{(\alpha)}\sim N_p(\mu_\alpha,\Sigma),(\alpha=1,...,n)\)相互独立，记

则称\(W=X‘X\)服从非中心参数为 \(\Delta=M‘M=\sum\mu_{\alpha}\mu_{\alpha}‘\)的非中心威沙特分布，记为\(W\sim W_p(n,\Sigma,\Delta)\)。

性质

• 设\(X_{(\alpha)}\sim N_p(0,\Sigma),(\alpha=1,...,n)\)相互独立,则样本离差阵\(A\)服从威沙特分布，即：

• 设 \(W_i\sim W_p(n_i,\Sigma),(i=1,...,k)\)相互独立，则

其中 \(n=n_1+\cdots+n_k\).

• 设\(p\)阶随机阵\(W\sim W_p(n,\Sigma)\).C是\(m\times p\)常数阵，则\(m\)阶随机阵\(CWC‘\)也服从威沙特分布，即：\(CWC‘\sim W_m(n,C\Sigma C‘)\).
  • \(aW\sim W_p(n,a\Sigma),(a>0,为常数)\);
  • 设 \(l‘=(l_1,...,l_p)\),则\(l‘Wl=\xi\sim W_1(n,l‘\Sigma l)\),即：\(\xi\sim\sigma^2\chi^2(n)\),其中：\(\sigma^2=l‘\Sigma l\).
• 分块威沙特矩阵：

【11】三个重要统计量的分布(1)

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