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FWT,FST入门

时间:2020-03-30 00:09:37      阅读:92      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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0.目录

1.什么是 FWT

?? FWT 全称为 " 快速沃尔什变换: Fast Walsh Transform " 。可以用于解决位运算卷积的问题。
??什么叫位运算卷积呢?我们考虑普通的卷积,即:

\[C_k=\sum_{i+j=k}A_iB_j \]

??位运算卷积就是下标为位运算的卷积(此处与和或用 C++ 记号,异或用\(\oplus\)):

\[\begin{aligned}\text{与卷积:}&C_k=\sum_{i\&j=k}A_iB_j\\\text{或卷积:}&C_k=\sum_{i|j=k}A_iB_j\\\text{异或卷积:}&C_k=\sum_{i\oplus j=k}A_iB_j\end{aligned} \]

2. FWT 怎么做

??为了方便,以下我们假设所有向量长度都相等,为\(2\)的整幂,即长度\(n=2^m\)。高位以 0 补齐。
??设一个向量\(A\)经过 FWT 之后得到了\(FWT(A)\), FWT 的最终目标就是满足:\(FWT(C)=FWT(A)\cdot FWT(B)\),其中的点乘表示向量的每一位相乘:\(A\cdot B=(A_0B_0,A_1B_1,...,A_iB_i,...)\)
?? FWT 针对三种位运算有各自的处理方法:

2.1. 或卷积

??我们发现或运算存在如下的性质:

\[(j|i=i)\land (k|i=i)\Rightarrow (j|k)|i=i \]

??如果将二进制理解为一个 01 集合,我们就可以用集合并的方式理解上面的性质。发现这其实是一个伪分配律。
??根据这个性质我们可以进行构造:

\[a_i=\sum_{j|i=i}A_j\\b_i=\sum_{j|i=i}B_j\\c_i=\sum_{j|i=i}C_j \]

??那么可以发现:

\[\begin{aligned} a_ib_i &=\sum_{j|i=i}A_j\times \sum_{k|i=i}B_k\ &=\sum_{j|i=i}\sum_{k|i=i}A_jB_k\ &=\sum_{(j|k)|i=i}A_jB_k\ &=c_i \end{aligned} \]

??这样做了对应乘法之后就可以得到\(c\),再进行一次逆变换就可以得到\(C\)
??因此问题变成了怎么进行这样的变换。
??考虑一种分治(或者称为 DP )的做法:
??\(f(i,j)\):满足仅有低\(i\)位可能与\(j\)不同的,且与\(j\)或后得到\(j\)的下标所对应的数的和。
??或者可以被描述为:

\[f(i,j)=\sum_{\lfloor\frac k{2^i}\rfloor=\lfloor\frac j{2^i}\rfloor,k|j=j} a_k \]

??考虑如何进行转移,即从\(f(i-1)\)转移到\(f(i)\)。这种情况下只有第\(i\)位解除了限制。根据或的性质,如果第\(i\)位为 0 ,那么第\(i\)位或操作之后仍需要是 0 ,就只能从第\(i\)位为 0 的\(f(i,j)\)转移来;如果第\(i\)位为 1 ,那么第\(i\)位或操作总得到是 1 ,就可以不考虑第\(i\)位,从\(f(i,j)\)\(f(i,j+2^i)\)转移来。
??放个图片理解一下:
技术图片
??顺便可以得到转移为:
??正变换:

\[\begin{aligned} f(i,j)&=f(i-1,j)\ f(i,j+2^i)&=f(i-1,j)+f(i-1,j+2^i) \end{aligned} \]

??逆变换就是将特殊贡献扣除:

\[\begin{aligned} f(i,j)&=f(i+1,j)\ f(i,j+2^i)&=f(i+1,j+2^i)-f(i+1,j) \end{aligned} \]

??可以发现\(f(0,i)=A_i\),且这个转移可以滚动数组优化。
??这样的 FWT 就是\(O(n\log_2n)\)

2.2.与卷积

??与卷积与或卷积十分相似,因此可以用类似的方法分析。这里只给出状态和转移:

\[f(i,j)=\sum_{\lfloor\frac k{2^i}\rfloor=\lfloor\frac j{2^i}\rfloor,k\&j=j} a_k \]

??正变换:

\[\begin{aligned} f(i,j)&=f(i-1,j)+f(i-1,j+2^i)\ f(i,j+2^i)&=f(i-1,j+2^i) \end{aligned} \]

??逆变换:

\[\begin{aligned} f(i,j)&=f(i+1,j)-f(i+1,j+2^i)\ f(i,j+2^i)&=f(i+1,j+2^i) \end{aligned} \]

2.3.异或卷积

??我们同样考虑异或的性质。
??设\(count(i)\)\(i\)的二进制中\(1\)的位数,\(i\otimes j=count(i\&j)\bmod 2\)则异或有性质:

\[(i\otimes j)\oplus(i\otimes k)=i\otimes (j\oplus k) \]

??即奇偶性相等。设\(count(j\&i)=a,count(k\&i)=b,count(j\&k)=c\),则左侧奇偶性由\(a+b\)决定,右侧奇偶性由\(a+b-2c\)决定,可以发现两侧的奇偶性相等。
??说起奇偶性,我们可以想到\(-1\)的幂。于是设:

\[\begin{aligned} a_i=\sum_j(-1)^{i\otimes j}A_j\ b_i=\sum_j(-1)^{i\otimes j}B_j\ c_i=\sum_j(-1)^{i\otimes j}C_j \end{aligned} \]

??然后就可以看看这样转换后乘起来的结果:

\[\begin{aligned} a_ib_i &=\sum_j(-1)^{i\otimes j}A_j\times \sum_k(-1)^{i\otimes k}B_k\ &=\sum_{i\otimes j=0}\sum_{i\otimes k=0}A_jB_k-\sum_{i\otimes j=1}\sum_{i\otimes k=0}A_jB_k-\sum_{i\otimes j=0}\sum_{i\otimes k=1}A_jB_k+\sum_{i\otimes j=1}\sum_{i\otimes k=1}A_jB_k\ &=\sum_{i\otimes (j\oplus k)=0}A_jB_k-\sum_{i\otimes (j\oplus k)=1}A_jB_k\\ &=\sum_p(-1)^{i\otimes p}\sum_{j\oplus k=p}A_jB_k\ &=\sum_p(-1)^{i\otimes p}C_p\ &=c_i \end{aligned} \]

??我们达成了目的。接下来就看看怎么变换。继续考虑 DP :

\[f(i,j)=\sum_{\lfloor\frac k {2^i}\rfloor=\lfloor \frac j {2^i}\rfloor}(-1)^{j\otimes k}a_k \]

??可以发现,从\(f(i-1)\)转到\(f(i)\)的时候,只有第\(i\)位都是\(1\)才会令\(j\otimes k\)改变奇偶性,即多乘上一个 -1 。
??这样转移,最终\(j\otimes k=0\)的情况就会被乘上偶数次 -1 ,而\(j\otimes k=1\)的情况就会被乘上奇数次 -1 ,最终答案就是正确的。
??按照这样,正变换:

\[\begin{aligned} f(i,j)&=f(i-1,j)+f(i-1,j+2^i)\ f(i,j+2^i)&=f(i-1,j)-f(i-1,j+2^i) \end{aligned} \]

??逆变换,用到了小学奥数的 " 和差问题 " 的结论

\[\begin{aligned} f(i,j)&=\frac{f(i+1,j)+f(i+1,j+2^i)} 2\ f(i,j+2^i)&=\frac{f(i+1,j)-f(i+1,j+2^i)} 2 \end{aligned} \]

??需要注意的是,异或卷积的逆变换还有一个 " 类 FFT " 的写法,即逆变换只比正变换在最后多除一个\(n\)(事实上异或 FWT 和 FFT 有很多相似处,可以在 K 进制 FWT 中找到答案)。

2.4.例题

??洛谷P4717。三种 FWT 全家桶。
??参考代码:

const int mod = 998244353, inv2 = 499122177;
const int MAXSIZ = 5e5 + 5;

int A[MAXSIZ], B[MAXSIZ], C[MAXSIZ], a[MAXSIZ], b[MAXSIZ];
int N, M;

int fix( const int x ) { return ( x % mod + mod ) % mod; }

namespace OR
{
	void FWT( int *f, const int m )
	{
		for( int s = 2 ; s <= M ; s <<= 1 )
			for( int i = 0, t = s >> 1 ; i < M ; i += s )
				for( int j = i ; j < i + t ; j ++ )
					f[j + t] = fix( f[j + t] + f[j] * m ) % mod;
	}
}

namespace AND
{
	void FWT( int *f, const int m )
	{
		for( int s = 2 ; s <= M ; s <<= 1 )
			for( int i = 0, t = s >> 1 ; i < M ; i += s )
				for( int j = i ; j < i + t ; j ++ )
					f[j] = fix( f[j] + f[j + t] * m ) % mod;
	}
}

namespace XOR
{
	void FWT( int *f, const int m )
	{
		int t1, t2;
		for( int s = 2 ; s <= M ; s <<= 1 )
			for( int i = 0, t = s >> 1 ; i < M ; i += s )
				for( int j = i ; j < i + t ; j ++ )
				{
					t1 = f[j], t2 = f[j + t];
					if( m > 0 )
						f[j] = ( t1 + t2 ) % mod,
						f[j + t] = fix( t1 - t2 );
					else
						f[j] = 1ll * ( t1 + t2 ) % mod * inv2 % mod,
						f[j + t] = 1ll * fix( t1 - t2 ) * inv2 % mod;
				}
	}
}

void cal( void ( *fwt ) ( int*, int ) )  //函数指针的写法,主要是方便。  
{
	for( int i = 0 ; i < M ; i ++ ) A[i] = a[i], B[i] = b[i];
	fwt( A, 1 ), fwt( B, 1 );
	for( int i = 0 ; i < M ; i ++ ) C[i] = 1ll * A[i] * B[i] % mod;
	fwt( C, -1 );
	for( int i = 0 ; i < M ; i ++ ) write( C[i] ), putchar( i == M - 1 ? ‘\n‘ : ‘ ‘ );
}

3. FST

3.1. FST 怎么做

??它听着不妙。
??快速子集变换 FST 解决的是一类子集卷积的问题,即:

\[f(U)=\sum_{S,T\subseteq U, S\cup T=U, S\cap T=\varnothing} g(S)\times h(T) \]

??这个卷积和或卷积的区别在于,或卷积可以有交集(并不要求\(j\& k=0\)),然而子集卷积不可以有。
??注意到这个限制在子集卷积中等价于\(|S|+|T|=|U|\)。因此我们可以给状态加上一维限制大小:
??\(f(i,U)\):大小为\(i\)的集合\(U\)的所有子集的贡献,\(g\)\(h\)同理转换。
??这个信息可以直接用 FWT 正变换得到。
??因此有转移:

\[f(i,U)=\sum_j^i\sum_{S\cup T=U}g(i,S)\times h(i-j,T) \]

??转移完成后需要 FWT 逆变换回来,再将不符合要求(集合大小不匹配)的清除。

3.2.例题

??[CF914G]Sum The Fibonacci, FWT + FST ,附赠题解一篇

FWT,FST入门

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原文地址:https://www.cnblogs.com/crashed/p/12595954.html

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