首都师范大学2012年高等代数考研试题参考解答

250804首都师范大学2012年高等代数考研试题参考解答 一. ( ) 求方程组

的通解.

二. ( ) 设 为 矩阵, 是 维列向量. 证明: 有解当且仅当方程组 的解都是方程 的解.

三. ( ) 证明行列式

四. ( ) 设 为有理系数非零多项式, 其中 是不可约的 (即不能分解为两个较低次数有理系数多项式的积). 假设存在复数 使得 , 证明: .

五. ( ) 设 为 维实线性空间, 为 维线性子空间, 记 为 到自身的所有线性映射组成的线性空间. 令

说明 是 的线性子空间, 并给出 的维数.

六. ( ) 一个复方阵 称为幂零的, 如果存在正整数 , 使得 . 设 为 阶复方阵, 证明 为幂零阵当且仅当 的特征多项式 .

七. ( ) 设 为 阶半正定实对称矩阵, 问 是否必为半正定的? (若肯定说明理由, 若否定给出反例.)

八. ( ) 在三维实向量空间中, 定义 与 的内积如下:

这样定义了一个欧氏空间. 求这个欧氏空间中的包含 在内的一个组标准正交基 .

 九. ( $\displaystyle 15‘$ ) 设  $\displaystyle V$  为有理数域上线性空间,  $\displaystyle \scrA$  为  $\displaystyle V$  的一个非零线性变换, 且  $\displaystyle \scrA^4=4\scrA^2-2\scrA$ . 证明:  $\displaystyle V=\im \scrA\oplus \ker \scrA$ , 且  $\displaystyle \scrA$  有一个三维不变子空间.    

十. ( ) 设 为 阶实对称方阵, 同时也是正交阵. 证明存在整数 ) 使得 ; 此外, 若 则 , 而若 则 . 这里, 是单位阵.