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妖梦拼木棒

题目背景

上道题中，妖梦斩了一地的木棒，现在她想要将木棒拼起来。

题目描述

有 \(n\) 根木棒，现在从中选 \(4\) 根，想要组成一个正三角形，问有几种选法？

答案对 \(10^9+7\) 取模。

输入输出格式

输入格式

第一行一个整数 \(n\)。

第二行 \(n\) 个整数，第 \(i\) 个整数 \(a_i\) 代表第 \(i\) 根木棒的长度。

输出格式

一行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入样例 #1

4
1 1 2 2

输出样例 #1

1

说明

数据规模与约定

• 对于 \(30\%\) 的数据，保证 \(n \le 5 \times 10^3\)。
• 对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(1 \leq n \le 10^5\)，\(0 \le a_i \le 5 \times 10^3\)。

分析

首先，四根木棍要拼成正三角形，不难想到只有一种可能：两根木棍的长度相等，另外两根的长度和也和前面那两根木棍长度相等。

为了方便起见，我们把木棍从大到小长度命名为\(w, x, y, z\)，此时就有\(w = x = y + z\)。

那么此题的思路也就比较好想了，采用桶计数思想，记录每个长度出现的次数，然后枚举每一种可能的长度作为\(w, x\)，然后再在二层循环中枚举和为前两根木棍长度\(w\)（\(x\)也等效，因为\(w = x\)）的木棍\(y, z\)，然后再用乘法原理，组合数来计算新方案。同时，我们还设桶计数思想中的这个桶数组为\(a\)，也就是说，\(a_i\)代表长度为\(i\)的木棍数量。

但还是这个具体怎么计算呢？分为两种情况。

• \(y \not= z\)：这种情况就是在长度为\(w\)（\(x\)）取\(2\)根的方案数\(\times\)长度为\(y\)的木棍中取\(1\)根的方案数\(\times\)长度为\(z\)的木棍中取\(1\)根的方案数。因为\(y \not= z\)，长度为\(y\)的木棍中取\(1\)根的方案数和长度为\(z\)的木棍中取\(1\)根的方案数之间可以直接画乘号（互不干涉性）。这种方案的公式就是\(C^2_{a_w} \times C^1_{a_y} \times C^1_{a_z}\)。
• \(y = z\)：这种情况就是在长度为\(w\)（\(x\)）取\(2\)根的方案数\(\times\)长度为\(y\)（\(z\)）的木棍中取\(2\)根的方案数。这次\(y = z\)了，我们要放在一个地方中考虑。用公式表示就是\(C^2_{a_w} \times C^2_{a_y}\)

讲完思路，我们就上代码咯。

代码

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2020-04-06 00:25:54 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2020-04-06 10:23:32
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <climits>

typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxl = 5e3 + 5;

int a[maxl];

inline int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

inline int min(int a, int b) {
    return a < b ? a : b;
}

int main() {
    int n;
    ll ans = 0;
    std :: cin >> n;
    
    int begin = INT_MAX;
    int end = INT_MIN;

    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int len;
        std :: cin >> len;
        begin = min(begin, len);
        end = max(end, len);
        a[len]++;
    }

    for(int i = begin + 1; i <= end; i++) {
        if(a[i] > 1) {//数量必须>1，要不然凑不成前面的两根木棍
            for(int j = begin; j <= i / 2; j++) {
                if(a[j] && a[i - j]) {//看看是不是都有
                    if(j == i - j && a[j] >= 2)//如果两个是相等的，还需要注意这个够不够两根
                        ans = ans + ((a[i] * (a[i] - 1) >> 1) * (a[j] * (a[j] - 1) >> 1) % mod) % mod;
                    else if(j != i - j)//要特别注意这个if，因为上边的条件中如果j == i - j但是a[j] < 2仍然会来到这个分支，所以我们必须保证j != i - j才能进行下一步计算
                        ans = ans + ((a[i] * (a[i] - 1) >> 1) * a[j] * a[i - j]) % mod;      
                }
                ans %= mod;
            }
        }
    }

    std :: cout << ans << std :: endl;
    return 0;
}

评测结果

• WA 70：R32516251（在条件分支处没有注意else if(j != i - j)这个不能去掉后面的if
• AC 100：R32516573

[luogu p3799] 妖梦拼木棒

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原文地址：https://www.cnblogs.com/crab-in-the-northeast/p/luogu-p3799.html