P3174 [HAOI2009]毛毛虫 题解

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原题链接

简要题意：

给定一棵树，求最长的 “挂链” 长度。

挂链定义为：一条链上所有节点与其相连的节点构成的生成树。（非严谨定义）（原题中是 “毛毛虫”，本人以为挂链更形象）

这题有多种做法，这里给出思路，以及其中一种做法的代码。

算法一

注意到，其实我们只需要选出 “最长链”，然后在最长链的两侧挂链即可。

即，先求出 树的直径 的两个端点，然后遍历一遍直径上的端点，把它们的直接连边都加入生成树中。

最后统计答案即可。

时间复杂度：\(O(n)\).

期望得分：\(100pts\).

算法二

考虑树形 \(\text{dp}\)，用 \(f_i\) 表示以 \(i\) 为根的最大挂链长度，\(sub_i\) 记录 \(i\) 的儿子个数，则：

很显然，要么直接继承儿子节点的答案，要么把两边一拼。

时间复杂度：\(O(n)\).

期望得分：\(100pts\).

算法三

给出一个最巧妙的算法。

假设 \(i\) 号点的度是 \(a_i\)，则一条长度为 \(s\) 的挂链的答案应该是：

\(i \in \operatorname{list}\) 表示 \(i\) 属于当前链，\(s-1\) 即把重复计算的边去掉得到边数，然后 \(+1\) 得到点数。化简即：

你发现这个东西有点难看，于是换了一下：

显然，把 \(s\) 减到每个节点里面 ，每个点分 \(1\) 个。

那么我们可以按照如下步骤求解：

1. 建图统计度，并将度 \(-1\).

2. 求出直径两端。

3. 统计直径上所有节点的度，然后 \(+2\) 即为答案。

时间复杂度：\(O(n)\).

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=3e5+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1; while(!isdigit(ch)) {if(ch==‘-‘) f=-f; ch=getchar();}
	   int x=0;while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar(); return x*f;}

int n,m,du[N],dis[N];
int num,mx;
vector<int> G[N];

inline void dfs(int dep,int fa,int dis) {
//fa 是 dep 的父亲 , dep 是正在搜索的节点,dis 是它与开始搜索节点的距离,dis 统计度和
	if(dis>mx) mx=dis,num=dep; //度和打擂
	for(int i=0;i<G[dep].size();i++)
		if(G[dep][i]!=fa) dfs(G[dep][i],dep,dis+du[dep]); //往下搜索
}

int main(){
	n=read(),m=read();
	memset(du,-1,sizeof(du)); //初始化为 -1, 即减掉 1
	while(m--) {
		int x=read(),y=read();
		G[x].push_back(y);
		G[y].push_back(x);
		du[x]++; du[y]++; //统计度
	} dfs(1,0,du[1]); mx=0;
	dfs(num,0,du[num]); //两次 dfs 寻找直径
	printf("%d\n",mx+2); // +2 就是答案
	return 0;
}

P3174 [HAOI2009]毛毛虫 题解

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