商拓扑

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Prop 设 \(X\) 是一个拓扑空间，\(Y\) 是一个集合.

满射 \(p:X\to Y\) 给出 \(X\) 上的一个等价关系 \(\sim\)：

可以在 \(X/\sim\) 上赋予唯一的拓扑使得满射 \(\widetilde{p\,}:X\to X/\sim,\ \widetilde{p\,}(x)=[x]\) 成为商映射，\(X/\sim\) 成为商空间.

可以在 \(Y\) 上赋予唯一的拓扑使得满射 \(p\) 成为商映射.

定义 \(\overline{p}:(X/\sim)\to Y,\ \overline{p}([x])=p(x)\)，则 \(\overline{p}\) 为一个同胚.

pf. 首先 \(\overline{p}\) 是一个双射. 另外，\(U\) 是 \(X/\sim\) 中的开集 \(\Leftrightarrow\) \(p^{-1}(U)=\underset{[x]\in U}{\bigcup}[x]\) 是 \(X\) 中的开集 (注意它同时是关于 \(p,\widetilde{p\,}\) 的饱和集) \(\Leftrightarrow\) \(p(\underset{[x]\in U}{\bigcup}[x])=\overline{p}(U)\) 是 \(Y\) 中的开集. 因此 \(\overline{p}\) 是一个同胚. \(\quad\Box\)

商拓扑

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原文地址：https://www.cnblogs.com/chs2020/p/12650424.html