四边形不等式优化DP

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定义

1.原始定义

假设有一个二元函数\(w(x,y)\)，如果对于任意\(a \leq b \leq c \leq d\)，有

就说函数\(w\)满足四边形不等式

2.等价定义

还有一个等价的定义：如果对于任意\(a\leq b\)，有：

就说函数\(w\)满足四边形不等式、

证明 2 -> 1

对于任意\(a < c\)， 有 \((1)\)式：

对于任意\(a+1, c\)，有\((2)\)式：

两式相加得到\((3)\)式：

对比\((1)\)式和\((3)\)式，发现\(a + 1\)可以扩成\(a + 2\)，同理\(a+2\)可以扩成\(a+3\)，\(a+3\)可以扩成\(a+4\)……可以一直扩大直至\(b\leq c\)（\(b\)是在\(a\)和\(c\)之间的一个数），从而得到：

同理，对于任意\(a<c+1\)，有\((4)\)式：

\((1)\)式与\((4)\)式相加得到\((5)\)式：

与\((1)\)式进行一下直观对比：

\((1)\)式：\(w(a, c + 1) + w(a + 1, c) \geq w(a, c) + w(a + 1, c + 1)\)

\((5)\)式：\(w(a, c + 2) + w(a + 1, c) \geq w(a, c) + w(a + 1, c + 2)\)

可以发现\(c+1\)可以扩成\(c+2\)，同理\(c+2\)可以扩成\(c+3\)，\(c+3\)可以扩成\(c+4\)……可以一直扩大一直到\(d(c\leq d)\)，从而得到：

再把上式\(a+1\)扩大到\(b\)，保证\(a\leq b \leq c \leq d\)，就可以得到\(1\)，即

\(w(a,d) + w(b, c) \geq w(a, c) + w(b, d)\)

由此原始定义得证。

所以，证了这么久有啥用呢？

决策单调性

我们在做\(DP\)时经常会遇见这样的\(DP\)方程

这样的\(DP\)方程被称作\(1D/1D\)动态规划，\(cost(i,j)\)决定着优化策略选择

决策单调性定理

如果函数\(cost(i,j)\)满足四边形不等式，则\(dp[i]\)有决策单调性（充分条件）

证明：

注：假设此时已经满足四边形不等式

假设此时的\(DP\)方程为\(dp[i] = \min/\{dp[j] + cost(j, i)\}\)，\(dp[i]\)的决策点是\(p[i]\)，对于\(j < p[i] - 1(j < i)\)，根据最优性：

假设\(i‘ > i\)，此时\(j \leq p[i] \leq i \leq i‘\)，根据四边形不等式：

对这个式子进行移项，得到

gu gu gu

明天继续

四边形不等式优化DP

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原文地址：https://www.cnblogs.com/loceaner/p/12693256.html