标签：size euler 而且 while tor printf log inline tle
震惊！在加了两种欧拉函数求法优化 + 矩阵惊人优化后的代码竟然比不过朴素欧拉函数 + 矩阵无优化！！！博主吐血调题慌张分析仍然 \(TLE\)！！！这一切背后，究竟是人性的扭曲还是道德的沦丧？是 * 的爆发还是|饥|^渴的无奈？？（我没有打错符号 /xyx
好了我就不 \(bibi\) 了，只是很好奇 \(a+=b\) 为什么会比 \(a=a+b\) 慢这么多，\((a=a+b)\%=mod\) 也会比 \(a=(a+b)\%mod\) 慢这么多，果然简便的写法会慢些吗 \(QwQ\)。
一个长度为N(N<=1000000000)的环形珍珠项链，有M(M<=10)种颜色，每个珍珠可以任选一种颜色染色，但是规定了K对禁止关系(a,b)，即不能存在颜色分别为a,b的珍珠相邻，询问可以有多少种染色方法可以得到本质不同的珍珠项链(通过旋转得到的项链为本质相同)。
有了 \(Polya\) 定理后，我们现在需要算的其实就是置换 i（置换 i 表示会将项链旋转 i 下）的上色种类数。
这个玩意可以利用矩阵快速幂来完成。
首先，我们设循环节的个数为 t。我们发现，整条项链可以被分成 \(\frac{n}{t}\) 块，而且每个块内的元素都包含在不同的循环里。显然每个循环内的所有元素颜色必须相同，那么我们只需要找出一个块涂色的所有情况就好了。
下面就是具体的方法：将一个数组 \(a[m][m]\)（m 表示大小而不是下标）都赋为 1，再把不能相邻的颜色赋为 0。
接下来为了方便理解，我画一个示意图：
用这个来理解：
for(int i = 1; i <= a.n; i ++)
for(int j = 1; j <= a.n; j ++)
for(int k = 1; k <= a.n; k ++)
r.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];
这是图：（边缘的数字就是行和列）
1 2 3 1 2 3
1 1 1 0 1 1 0
2 1 1 1 1 1 1
3 0 1 1 0 1 1
我们把左边的矩阵看作初始矩阵，右边的矩阵看成转移矩阵。
我们获得 \(a[1][1]\) 就是初始矩阵的第一行与转移矩阵的第一列相乘。
同理，获得 \(a[1][2]\) 就是初始矩阵的第一行与转移矩阵的第二列相乘。
再同理，获得 \(a[2][1]\) 就是就是初始矩阵的第二行与转移矩阵的第一列相乘。
理解了矩阵乘法，之后的定义就好懂了。
我们注意到之前的思路有一个问题：因为本质上是一个环，而这个环是好几个之前分的块组成的。那么两个块之间的元素也是相邻的，也就是第一个块的末元素和第二个块的首元素是相邻的。这点非常重要。
现在来说说 \(a[i][j]\) 的定义：以 i 为首元素，最后能到达 j 的总方案数。（到达是末元素不一定为 j，但是可以回到 j 的意思，这样就巧妙地处理了环）
这下用手模一下就可以了。（如果还是不懂可以私信或评论哟）
显然我们要求的就是 \(\sum_{i=0}^{m-1}a[i][i]\)。
最后我们还有一个套路优化，我在这篇博客里证了，不会的可以去康康：【POJ 2154】Color。
我觉得真的????。
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int mod = 9973, N = 1e5;
int n, m, p[N + 5], phi[N + 5], cnt;
struct Matrix {
int n, m, a[10][10];
Matrix() {n = m = 0; memset(a, 0, sizeof a);}
Matrix operator * (const Matrix t) {
Matrix r; r.n = n; r.m = t.m;
for(int i = 0; i < n; ++ i)
for(int j = 0; j < m; ++ j)
if(a[i][j])
for(int k = 0; k < m; ++ k)
r.a[i][k] = (r.a[i][k] + a[i][j] * t.a[j][k]) % mod;
return r;
}
}A, B;
Matrix qkpow(Matrix x, int y) {
Matrix r; r.n = r.m = x.n;
for(int i = 0; i < r.n; ++ i) r.a[i][i] = 1;
while(y) {
if(y & 1) r = r * x;
x = x * x; y >>= 1;
}
return r;
}
int read() {
int x = 0, f = 1; char s;
while((s = getchar()) < ‘0‘ || s > ‘9‘) if(s == ‘-‘) f = -1;
while(s >= ‘0‘ && s <= ‘9‘) {x = (x << 1) + (x << 3) + (s ^ 48); s = getchar();}
return x * f;
}
int Pow(int x, int y) {
int ans = 1;
while(y) {
if(y & 1) ans = ans * x % mod;
x = x * x % mod; y >>= 1;
}
return ans;
}
int Phi(int n) {
if(n <= N) return phi[n] % mod;
int ans = n;
for(int i = 1; i <= cnt && p[i] * p[i] <= n; ++ i) {
if(n % p[i] == 0) {
ans = ans - ans / p[i];
while(n % p[i] == 0) n /= p[i];
}
}
if(n > 1) ans = ans - ans / n;
return ans % mod;
}
int get(const int n) {
int ans = 0;
B = qkpow(A, n);
for(int i = 0; i < m; ++ i) ans = ans + B.a[i][i];
return ans % mod;
}
int Polya() {
int ans = 0;
for(int i = 1; i * i <= n; ++ i) {
if(n % i) continue;
ans = (ans + Phi(i) * get(n / i)) % mod;
if(i * i == n) break;
ans = (ans + Phi(n / i) * get(i)) % mod;
}
return ans;
}
void Euler() {
phi[1] = 1;
for(int i = 2; i <= N; ++ i) {
if(! phi[i]) p[++ cnt] = i, phi[i] = i - 1;
for(int j = 1; j <= cnt && p[j] * i <= N; ++ j) {
if(i % p[j] == 0) {phi[p[j] * i] = phi[i] * p[j]; break;}
else phi[p[j] * i] = phi[i] * (p[j] - 1);
}
}
}
int main() {
int u, v;
Euler();
for(int T = read(); T; -- T) {
n = read(), m = read(); A.n = A.m = m;
for(int i = 0; i < m; ++ i)
for(int j = 0; j < m; ++ j)
A.a[i][j] = 1;
for(int k = read(); k; -- k) {
u = read() - 1, v = read() - 1;
A.a[u][v] = A.a[v][u] = 0;
}
printf("%d\n", Polya() * Pow(n % mod, mod - 2) % mod);
}
return 0;
}
标签：size euler 而且 while tor printf log inline tle
原文地址：https://www.cnblogs.com/AWhiteWall/p/12722963.html
