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来自：Litbro （一个希望中文网能有更多知识的小兄弟）
? 在研究生学习过程中，涉及到了数学物理中的反演问题，正常问题一般可简化为输入，输出和转换系统，即
其中，\(\bold{F}\) 表示转换关系（一般为算子或积分，已知），\(x\) 为输入参数，\(y\) 为输出数据，\(\bold{X}\) 和 \(\bold{Y}\) 为对应的赋范空间。从反问题的角度来考虑，求解问题变为
即已知输出数据，反求出输入参数。经常说问题的适定性对反问题求解存在很大的影响，先从适定性的定义出发，假设问题\(\eqref{eq1}\)是适定（well-posedness）的，则全部满足[^1]：
? 要求问题\(\eqref{eq1}\)适定的条件下，等同于要求 \(\bold{F}^{-1}\) 存在且连续，然而很多问题都是不满足这个条件的，也就是说不适定。许多反问题都是不适定的，普遍存在 \(x\) 不连续依赖于 \(y\) ，并且 \(y\) 的微小扰动会使 \(x\) 产生剧烈波动的问题，也即病态问题，这时我们所求的反问题的解通常是最小二乘意义下的解 \(x^* \in \bold{X}\)，即
注：不可将适定性与病态性视作一种概念，并且它们没有从属关系，要理解需从各自的定义出发，可大致参考[知乎]，[Exchange]
病态（ill-conditioned）问题：当一个问题的输入受到微小的扰动即可引发输出解的剧烈变化时，也即问题的解对输入参数非常敏感，便称它是病态问题
? 反问题与不适定的联系主要表现在两个方面[^2]：1、由于客观条件的限制，反问题中的数据往往是欠定或者过定的，这就导致解的不唯一性或者是解的不存在性；2、反问题的解对数据往往不具有连续依赖性，并且通常这种不连续这是导致反问题病态的原因。在\(\bold{F}^{-1}\) 的连续性不满足的情况下，即条件 \(C_3\) 不满足的情况，如何通过一组带有误差的数据稳定求出满足精度的结果，显然非常重要。
例1：考虑一个一维阶跃函数
\[{F}(x) = [x] \ (x \in R^1) \tag{4} \label{eq4} \]显然 \(\eqref{eq4}\) 并不连续，考虑 \({F}(3.001) = 3\) ，若存在误差 \(\delta\)，\(3.001+\delta = 2.999\)，那么 \({F}(2.999) = 2\)，显然一个很小的误差 \(\delta = -0.002\) 对求解带来了很大的影响，这也表明问题 \(\eqref{eq4}\) 是病态的。
例1合理性待确定，想通过这例子直观的反映出我对这部分内容的理解，如有不合理处或更好的举例还望不吝指教
? 为获得最小二乘意义下的解 \(x^*\) ，需要利用一种算法来求解最小化问题 \(\eqref{eq3}\) ，这些算法有：全局搜索算法，梯度类算法，凸优化算法等。这些算法都用各自的搜索方法寻求目标函数的极小值，并且这些算法的搜索效率和准确度在应用中各有优劣。对于适定非病态问题，这些算法都能稳定准确地得出结果，但对于不适定病态问题，这些算法无法足够稳定准确地求解，因此人们发展了正则化方法。
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