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对大量的观测数据进行处理,从而得到比较符合事物内部规律的数学表达式。也就是说寻找到数据与数据之间的规律所在,从而就可以模拟出结果,也就是对结果进行预测。解决的就是通过已知的数据得到未知的结果。例如:对房价的预测、判断信用评价、电影票房预估等。
w叫做x的系数,b叫做偏置项。
利用梯度下降法找到最小值点,也就是最小误差,最后把 w 和 b 给求出来。
使用正则化项,也就是给loss function加上一个参数项,正则化项有L1正则化、L2正则化、ElasticNet。加入这个正则化项好处:
方程:
表示上面的 loss function ,在loss function的基础上加入w参数的平方和乘以 ,假设:
回忆以前学过的单位元的方程:
正和L2正则化项一样,此时我们的任务变成在L约束下求出J取最小值的解。求解J0的过程可以画出等值线。同时L2正则化的函数L也可以在w1w2的二维平面上画出来。如下图:
L表示为图中的黑色圆形,随着梯度下降法的不断逼近,与圆第一次产生交点,而这个交点很难出现在坐标轴上。这就说明了L2正则化不容易得到稀疏矩阵,同时为了求出损失函数的最小值,使得w1和w2无限接近于0,达到防止过拟合的问题。
只要数据线性相关,用LinearRegression拟合的不是很好,需要正则化,可以考虑使用岭回归(L2), 如何输入特征的维度很高,而且是稀疏线性关系的话, 岭回归就不太合适,考虑使用Lasso回归。
L1正则化与L2正则化的区别在于惩罚项的不同:
求解J0的过程可以画出等值线。同时L1正则化的函数也可以在w1w2的二维平面上画出来。如下图:
惩罚项表示为图中的黑色棱形,随着梯度下降法的不断逼近,与棱形第一次产生交点,而这个交点很容易出现在坐标轴上。这就说明了L1正则化容易得到稀疏矩阵。
L1正则化(Lasso回归)可以使得一些特征的系数变小,甚至还使一些绝对值较小的系数直接变为0,从而增强模型的泛化能力 。对于高的特征数据,尤其是线性关系是稀疏的,就采用L1正则化(Lasso回归),或者是要在一堆特征里面找出主要的特征,那么L1正则化(Lasso回归)更是首选了。
ElasticNet综合了L1正则化项和L2正则化项,以下是它的公式:
ElasticNet在我们发现用Lasso回归太过(太多特征被稀疏为0),而岭回归也正则化的不够(回归系数衰减太慢)的时候,可以考虑使用ElasticNet回归来综合,得到比较好的结果。
我们假设线性回归的噪声服从均值为0的正态分布。 当噪声符合正态分布N(0,delta^2)时,因变量则符合正态分布N(ax(i)+b,delta^2),其中预测函数y=ax(i)+b。这个结论可以由正态分布的概率密度函数得到。也就是说当噪声符合正态分布时,其因变量必然也符合正态分布。
在用线性回归模型拟合数据之前,首先要求数据应符合或近似符合正态分布,否则得到的拟合函数不正确。
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