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【题解】P2480 [SDOI2010]古代猪文 - 卢卡斯定理 - 中国剩余定理

时间:2020-04-21 21:21:31      阅读:86      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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P2480 [SDOI2010]古代猪文

声明:本博客所有题解都参照了网络资料或其他博客,仅为博主想加深理解而写,如有疑问欢迎与博主讨论???(ˊ?ˋ)??*?

题目描述

猪王国的文明源远流长,博大精深。

\(iPig\) 在大肥猪学校图书馆中查阅资料,得知远古时期猪文文字总个数为 \(n\)。当然,一种语言如果字数很多,字典也相应会很大。当时的猪王国国王考虑到如果修一本字典,规模有可能远远超过康熙字典,花费的猪力、物力将难以估量。故考虑再三没有进行这一项劳猪伤财之举。当然,猪王国的文字后来随着历史变迁逐渐进行了简化,去掉了一些不常用的字。
\(iPig\) 打算研究古时某个朝代的猪文文字。根据相关文献记载,那个朝代流传的猪文文字恰为远古时期的 \(1/k\) ,其中 \(k\)\(n\) 的一个正约数(可以是 \(1\)\(n\))。不过具体是哪 \(1/k\),以及 \(k\) 是多少,由于历史过于久远,已经无从考证了。
\(iPig\) 觉得只要符合文献,每一种 \(k|n\) 都是有可能的。他打算考虑到所有可能的 \(k\)。显然当 \(k\) 等于某个定值时,该朝的猪文文字个数为 \(n/k\)。然而从 \(n\) 个文字中保留下 \(n/k\) 个的情况也是相当多的。\(iPig\) 预计,如果所有可能的 \(k\) 的所有情况数加起来为 \(p\) 的话,那么他研究古代文字的代价将会是 \(g^p\)
现在他想知道猪王国研究古代文字的代价是多少。由于 \(iPig\) 觉得这个数字可能是天文数字,所以你只需要告诉他答案除以 \(999911659\) 的余数就可以了。

输入格式

一行两个正整数 \(n,g\)

输出格式

输出一行一个整数表示答案。


\(Solution\)

看题解大佬们都好不屑啊...几个式子一摆就没了...我自己理解还要好一会,果然太菜了

首先,由于要从 \(n\) 中选出 \(\dfrac{n}{k}\) 个,又因为 \(\dfrac{n}{k} | n\) ,所以 \(p\) 就等于 \(\sum{k|n} \ C_{n}^{k}\)

又因为 \(999911659\) 是个质数,根据欧拉定理得,\(g^p \equiv g^{p \% 999911658} \pmod{p}\)

接下来就求 \(p \ \% \ 999911658\)

发现是大组合数,可以用 \(lucas\) 定理,但是模数太大( \(lucas\) 定理时间复杂度为 \(O(p\log_pn)\)),显然过不去

但是我们可以发现, \(999911658\) 可以质因数分解为 \(2 * 3 * 4679 * 35617\),于是我们可以先求得在这模四个数下的 \(p\) ,然后用中国剩余定理最后求解

完结撒花??ヽ(°▽°)ノ?


\(Code\)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define F(i, x, y) for(int i = x; i <= y; ++i)
using namespace std;
ll read();
const int N = 36000 + 5;
ll n, g;
ll a[4], b[4] = {2, 3, 4679, 35617}, kk = 999911658;
ll mul[N], f[N], ans;
void init(ll mod)
{
	f[0] = 1;
	F(i, 1, mod) f[i] = f[i - 1] * i % mod;
}
ll qpower(ll x, ll y, ll mod)
{
	ll res = 1;
	while(y)
	{
		if(y & 1) res = res * x % mod;
		x = x * x % mod, y >>= 1;
	}
	return res;
}
ll C(ll n, ll m, ll mod)
{
	if(n < m) return 0;
	return f[n] * qpower(f[m], mod - 2, mod) % mod * qpower(f[n - m], mod - 2, mod) % mod;
}
ll lucas(ll n, ll m, ll mod)
{
	if(n < m) return 0;
	if(! n) return 1;
	return lucas(n / mod, m / mod, mod) * C(n % mod, m % mod, mod) % mod;
}
int main()
{
    n = read(), g = read();
    if(g % (kk + 1) == 0) 
    {
    	puts("0");
    	return 0;
	}
    F(s, 0, 3)
	{
	    init(b[s]);	
	    F(i, 1, sqrt(n))
	        if(n % i == 0)
	        {
	        	a[s] = (a[s] + lucas(n, i, b[s])) % b[s];
	        	if(i * i != n) a[s] = (a[s] + lucas(n, n / i, b[s])) % b[s];
			}	
    } 
    F(i, 0, 3) ans = (ans + a[i] * (kk / b[i]) % kk * qpower(kk / b[i], b[i] - 2, b[i])) % kk;
    printf("%lld", qpower(g, ans, kk + 1));
	return 0;
}
ll read()
{
	ll x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while(c < ‘0‘ || c > ‘9‘) {if(c == ‘-‘) f = -1; c = getchar();}
	while(c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘) x = x * 10 + c - ‘0‘, c = getchar();
	return x * f;
}

【题解】P2480 [SDOI2010]古代猪文 - 卢卡斯定理 - 中国剩余定理

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原文地址:https://www.cnblogs.com/Bn_ff/p/12747823.html

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