二分图的性质

标签：闭包   路径   最小点覆盖   有一个   情况   存在   说明   输入   去掉   

最大匹配 = 最小点覆盖 = 总点数-最大独立集 = 总点数-最小路径点（不重复）覆盖

最小点覆盖：选择最少的点覆盖所有的边

证明：

? 1.最小点覆盖>=最大匹配数：如果要覆盖所有点，至少要把所有匹配边选上。

? 2.最小点覆盖<=最大匹配数：

? 1.求最大匹配

? 2.从左边每个非匹配出发，做一次增广标记所有经过的点。

? 得到：左边所有未被标记的点：一定是匹配点 ； 右部所有标记的点：一定是匹配点（如果是非匹配点说明还存在增广路），符合这种情况的左右部点之和为最大匹配。

? 对于一个匹配边：两端点一定同时被标记或同时没有被标记。（好像对证明没有意义）

? 对于任意一条边：如果同时被标记符合右部被标记，如果同时没有被标记符合左部没被标记。

最大独立集：选出最多的点，使得任意两点之间没有边。

证明：

? 等价于：去掉最少的点，将所有边破坏掉（剩下的点就是最大独立集）

? 等价于：求最小点覆盖

? 等价于：求最大匹配

最大团：选出最多的点，使得任意两点之间都有边。

证明：

? 对于图G，对于有边相连的点边删去，没有边的点加上边，求出它的补图G’，对于G’的最大独立集，就是G的最大团。

最小路径点覆盖：对于一个DAG图，用最少的互不相交（点和边都不重复）的路径将所有点覆盖。

证明：

? 将每个点拆成入度和出度点，形成二分图：入度点在左部，出度点在右部。由于每个点只输入一条路径，所有每个点的入度和出度都小于等于1，这就符合二分图的最大匹配了。由于每条路径都有一个终点出度为0，所有左部没有连边的点都代表每条路径的终点。所以总的点数减去匹配点数等于终点的数目等于路径数

最小路径重复点覆盖：

求传递闭包后，再求最小路径点覆盖

?

二分图的性质

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