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Tarjan

时间:2020-04-29 15:04:19      阅读:69      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:lan   lock   ros   搜索   访问   题目   一点   strong   绿色   

Tarjan

1. DFS树(深度优先搜索树)

技术图片

  • 上图右图是左图以1为起点进行DFS时产生的生成树。

  • 有向图的 DFS 生成树主要有 4 种边(不一定全部出现):

    1. 树边(tree edge):绿色边,每次搜索找到一个还没有访问过的结点白点)的时候就形成了一条树边。
    2. 返祖边(back edge):黄色边,也被叫做回边,即指向祖先结点(灰点)的边。
    3. 横叉边(cross edge):红色边,它主要是在搜索的时候遇到了一个已经访问过黑点dfn[u]>dfn[v])的结点,但是这个结点 并不是 当前结点的祖先时形成的。
    4. 前向边(forward edge):蓝色边,它是在搜索的时候遇到子树中的结点黑点dfn[u]<dfn[v])的时候形成的。
  • 无向图不存在横叉边和前向边。

2. Tarjan算法求强连通分量

  • 强连通分量(Strongly Connected Components),经常简写为:SCC,有向图中任意两点间可达,实际上形成一个环。

  • Tarjan基于对图的深度优先搜索,并对每个节点引入两个值:

    • dfn[u]:节点u的时间戳,记录点uDFS过程中第几个访问的节点。
    • low[u]:记录节点uu的子树不经过搜索树上的边(树边)能够到达的时间戳最小的节点。
    • 初始时,dfn[u]==low[u]
  • 对于每一条与u相连的边<u,v>

    • 若在搜索树上vu的子节点,即边<u,v>是树枝边,则更新low[u]= min(low[u], low[v])
    • <u,v>不是搜索树上的边(反向边),则更新low[u]= min(low[u], dfn[v])
  • 缩点

    • 在有向图中,我们经常需要把一个SCC缩成一个点,然后生成一个有向无环图(DAG),或把一个无向图缩点后变成一棵树,然后可以有很多优秀的性质进行解决。
    • 算法实现:
      1. 从图的某一点u开始,对图进行DFS(u),点维护dfn[u]值和low[u]值。
      2. DFS时先将u压入栈中,然后遍历邻接边,邻接边定点为v
        • <u,v>为树边:DFS(v),回溯时更新:low[u]=min(low[u],low[v])
        • <u,v>为返祖边:直接更新:low[u]=min(low[u],dfn[v])
      3. 节点u变黑,即其所有子树访问结束时,若dfn[u]==low[u]时,此时栈顶节点到节点u,为一个SCC
  • 例题:缩点(洛谷p3387)

    Description
    • 给定一个 n 个点 m 条边有向图,每个点有一个权值,求一条路径,使路径经过的点权值之和最大。你只需要求出这个权值和。
    • 允许多次经过一条边或者一个点,但是,重复经过的点,权值只计算一次。
    Input
    • 第一行两个正整数 n,m
    • 第二行 n个整数,依次代表点权
    • 第三至 m+2 行,每行两个整数 u,v,表示一条 \(u\rightarrow v\) 的有向边。
    Output
    • 共一行,最大的点权之和。
    Sample Input
    2 2
    1 1
    1 2
    2 1
    
    Sample Output
    2
    
    Hint
    • 对于 \(100\%\) 的数据,\(1\le n \le 10^4\)\(1\le m \le 10^5\),点权$ \in [0,1000]$。

    分析:

    • 题目说可重复的经过同一个点和边,但权值只算一次,如果图是一个强连通图的话,显然每个点我们都能走一遍,答案就是所有点的点权和。

    • 我们先对图进行Tanjan缩点并维护每个点的权值和sum[],缩点后,在原图的基础上我们建出新的DAG图。

    • 在新的DAG图中,我们可以进行拓扑排序+dp,定义dp[i]表示以节点i为起点的最大点权和,转移方程:dp[i]=max(dp[j]+sum[i])ji的子节点。

    • Code

      #include <bits/stdc++.h>
      const int maxn=100000+5
      struct edge{
      	int from,to, next;
      }e[maxn << 1],g[maxn << 1];//e原图,g存储新图DAG 
      int lene,leng, heade[maxn],headg[maxn];//图e和g的边表 
      int Time, dfn[maxn], low[maxn], vis[maxn],s[maxn],top;//s是模拟栈,要全局 
      int dp[maxn], n, m, sum[maxn], a[maxn], tot, belong[maxn];
      void Inserte(int x, int y){ e[++lene].from=x;e[lene].to =y;e[lene].next=heade[x], heade[x] = lene; }//原图
      void Insertg(int x, int y){ g[++leng].from=x;g[leng].to =y;g[leng].next=headg[x], headg[x] = leng; }//新图
      void tarjan(int u){
      	dfn[u] = low[u] = ++Time;//初始化
      	vis[u] = 1;s[++top]=u;//标记并进栈
      	for (int i = heade[u]; i; i = e[i].next){
      		int v = e[i].to;
      		if (!dfn[v]) {//v为白点
      			tarjan(v);
      			low[u] = std::min(low[u], low[v]);//<u,v>为树枝子节点low值更新父节点low值
      		}//否则有可能是返祖边
      		else if (vis[v]) low[u] = std::min(low[u], dfn[v]);
      	}
      	if(dfn[u] == low[u]){//缩点
      		++tot;//记录新图节点数
      		while(s[top+1]!=u){//从栈顶到u的点缩成一个新点tot
      			int v=s[top];
      			belong[v]=tot;vis[v]=0;sum[tot]+=a[s[top--]];
      		}//belong表示强连通分量编号,vis表示是否在栈中,sum表示强连通分量权值和
      		
      	}
      }
      void dfs(int u){
      	if (dp[u]) return;
      	dp[u] = sum[u];
      	for (int i = headg[u]; i; i = g[i].next){
      		int v = g[i].to;
      		dfs(v);
      		dp[u] = std::max(dp[u], dp[v] + sum[u]);//这里是记忆化
      	}
      }
      int main(){
      	scanf("%d%d",&n,&m);
      	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d",&a[i]);
      	for (int i = 1; i <= m; ++i){
      		int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
      		Inserte(x,y);
      	}
      	for (int i = 1; i <= n; ++i)
      		if (!dfn[i]) tarjan(i);
      	leng = 0;
      	memset(headg, 0, sizeof(headg));
      	for (int i = 1; i <= m; ++i){//遍历原始边建新图
      		int u=e[i].from,v=e[i].to;
      		if (belong[u] != belong[v]) //判断边的两个端点是否在同一个新点中
      			Insertg(belong[u], belong[v]);//不在就建一条边
      	}
      	int ans=0;		
      	for (int i = 1; i <= tot; ++i)
      		if (!dp[i]){
      			dfs(i);
      			ans = std::max(ans, dp[i]);
      		}
      	printf("%d\n", ans);
      	return 0;
      }
      

Tarjan

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原文地址:https://www.cnblogs.com/hbhszxyb/p/12801709.html

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