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背包问题

来源

完全基于中山纪念中学 宋新波ppt的一次复习

动态规划的关键点

• 最优化原理

子问题最优化结构

• 无后效性

未来与过去无关

• 状态

描述最优解的结构

• 状态转移方程

递归定义最优解的值

• 程序实现

用记忆化搜索或迭代法求解

No.1：01背包

问题

有N种物品和一个容量为V的背包。
第i种物品只有1个，体积是v[i]，价值是w[i]。
选择物品装入背包使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大，求出这个最大价值。

分析

• 状态

  \(f[i,j]\)表示用体积为j的背包装前i个物品能获得的最大价值。考虑第i种物品装或不装进行状态转移:

  • 装

  \(f[i-1,j-v[i]]+w[i]\)(必须满足\(j>=v[i]\))

  • 不装

  \(f[i-1,j]\)

  • 两种情况取较大值。
• 状态转移方程为：

• 答案为\(f[n,v]\)，时间复杂度为\(O(N*V)\)。

code

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;

const int Max=1e4+10;
int w[Max],v[Max];
int f[Max][Max]={0};

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=n; i++)	cin>>v[i];
	for(int i=1; i<=n; i++)	cin>>w[i];
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=0; j<=m; j++)
			if(j<v[i])	f[i][j]=f[i-1][j];
			else	f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
	cout<<f[n][m]<<endl;
	return 0;
}

No.2：完全背包

问题

有N种物品和一个容量为V的背包。
第i种物品有无穷个，体积是v[i]，价值是w[i]。
选择物品装入背包使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大，求出这个最大价值。

分析

方法一

• 状态：

\(f[i,j]\)表示用体积为j的背包装前i个物品能获得的最大价值。
考虑第\(i\)个物品装几个来进行状态转移，假设装\(x\)个，\(x\)的范围为\(0<=x<=j / v[i]\)

• 状态转移方程：

• 答案为\(f[n,v]\),时间复杂度为\(O(V^2*\displaystyle \sum^N_{i=1}{\frac1{v[i]}})\)

code

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;

const int Max=1e4+10;
int w[Max],v[Max];
int f[Max][Max]={0};

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=n; i++)	cin>>v[i];
	for(int i=1; i<=n; i++)	cin>>w[i];
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=0; j<=m; j++)
			for(int x=0; x<=j/v[i]; x++)
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-x*v[i]]+x*w[i]);
	cout<<f[n][m]<<endl;
	return 0;
}

方法二

• 状态

\(f[i,j]\)表示用体积为j的背包装前\(i\)个物品能获得的最大价值。

• 考虑第\(i\)个物品装或不装来进行状态转移：
  • 装:

  必须满足\(j>=v[i]\)，由于物品有无穷多个，装一次后后面还可以再装，所以状态为\(f[i,j-v[i]]+w[i]\);

  • 不装：

  \(f[i-1,j]\)

• 状态转移方程：

• 答案为\(f[n,v]\)，时间复杂度为\(O(N*V)\)。

code

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;

const int Max=1e4+10;
int w[Max],v[Max];
int f[Max][Max]={0};

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=n; i++)	cin>>v[i];
	for(int i=1; i<=n; i++)	cin>>w[i];
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=0; j<=m; j++)
			if(j<v[i])	f[i][j]=f[i-1][j];
			else	f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
	cout<<f[n][m]<<endl;
	return 0;
}

No.3：多重背包(未完待续)

背包问题

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原文地址：https://www.cnblogs.com/vasairg/p/12385336.html