标签：shu 提升 直接 技术 表示 元素 htm 调整 完成
B-树，有时又写为B_树（其中的“-”或者“_”只是连字符，并不读作“B减树”）
一颗 m 阶的 B-树，或者本身是空树，否则必须满足以下特性：
?m/2?棵子树；(即至少含有?m/2?-1个关键字)n 表示结点中包含的关键字的个数，取值范围是：?m/2?-1≤ n ≤m-1。Ki （i 从 1 到 n）为关键字，且 Ki < Ki+1 ；Ai 代表指向子树根结点的指针，且指针 Ai-1 所指的子树中所有结点的关键字都小于 Ki，An 所指子树中所有的结点的关键字都大于 Kn。
如上图所示，当前结点中有 4 个关键字，之间的关系为：K1<K2<k3<K4。同时对于 A0 指针指向的子树中的所有关键字来说，其值都要比 K1 小；而 A1 指向的子树中的所有的关键字的值，都比 K1 大，但是都要比 K2 小。
所有的叶子结点都出现在同一层次，实际上这些结点都不存在，指向这些结点的指针都为 NULL
对比二叉排序树是二路查找，而B-树是多路查找，因为B-树结点内的关键字是有序的，在结点内进行查找时除了顺序查找外，还可以用折半查找来提升效率。
如下图所示就是一棵 4 阶的 B-树，这棵树的深度为 4 ：
在使用 B-树进行查找操作时，例如在如上图所示的 B-树中查找关键字 47 的过程为：
A1 指针指向的右子树中；A1 所指的子树中；若查找到深度为 3 的结点还没结束，则会进入叶子结点，但是由于叶子结点本身不存储任何信息，全部为 NULL，所以查找失败。
B-树也是从空树开始，通过不断地插入新的数据元素构建的。但是 B-树构建的过程不同于二叉排序树和平衡树二叉树。B-树在插入新的数据元素时并不是每次都向树中插入新的结点。
因为对于 m 阶的 B-树来说，在定义中规定所有的非终端结点（终端结点即叶子结点，其关键字个数为 0）中包含关键字的个数的范围是[?m/2?-1,m-1]，所以在插入新的数据元素时，首先向最底层的某个非终端结点中添加，如果该结点中的关键字个数没有超过 m-1，则直接插入成功，否则还需要继续对该结点进行处理。
假设现在在下图的3阶B-树（深度为4，省略了叶子结点）基础上插入 4 个关键字 30、26、85 和 7：
插入关键字 30 ：从根结点开始，由于 30 < 45，所以要插入到以 b 结点为根结点的子树中，再由于 24 < 30，插入到以 d 结点为根结点的子树中，由于 d 结点中的关键字个数小于 m-1=2，所以可以将关键字 30 直接插入到 d 结点中。结果如下图所示：
插入关键字 26：从根结点开始，经过逐个比较，最终判定 26 还是插入到 d 结点中，但是由于 d 结点中关键字的个数超过了 2，所以需要做如下操作：
经过以上操作后，插入 26 后的B-树为：
插入关键字 85：从根结点开始，经过逐个比较，最终判定插入到 g 结点中，同样需要对 g 做分裂操作：
经过以上操作后，插入 85 后的结果图为：
上图中，由于关键字 70 调整到其双亲结点中，使得其 e 结点中的关键字个数超过了 2，所以还需进一步调整：
最终插入关键字 85 后的 B-树为：
插入关键字 7：从根结点开始依次做判断，最终判定在 c 结点中添加，添加后发现 c 结点需要分裂，分裂规则同上面的方式一样，结果导致关键字 7 存储到其双亲结点 b 中；后 b 结点分裂，关键字 24 存储到结点 a 中；结点 a 同样需要做分裂操作，最终 B-树为：
实现完模拟操作后，我们可以总结出以下结论：在构建 B-树的过程中，假设 p 结点中已经有 m-1 个关键字，当再插入一个关键字之后，此结点分裂为两个结点，如下图所示：
提示：结点分裂为两个结点的同时，还分裂出来一个关键字 K?m/2?，存储到其双亲结点中。
在 B-树种删除关键字时，首先前提是找到该关键字所在结点，在做删除操作的时候分为两种情况，
以上图（3阶B-树（深度为4，省略了叶子结点））为例，关键字 24、45、53、90属于不处在最后一层的非终端结点，关键字 3、12、37等同属于最后一层的非终端结点。
如果该结点为非终端结点且不处在最后一层，假设用 Ki 表示，则只需要找到指针 Ai 所指子树中最小的一个关键字代替 Ki，同时将该最小的关键字删除即可。
还如上图中，如果要删除关键字 45 ，只需要使用关键字 50 代替 45 ，同时删除 f 结点中的 50 即可。
如果该结点为最后一层的非终端结点，有下列 3 种可能：
?m/2?，则只需从该结点删除该关键字Ki以及相应的指针 Ai 。例如，在上图（3阶B-树（深度为4，省略了叶子结点））中，删除关键字 12 ，只需要删除该关键字 12以及右侧指向 NULL 指针即可。
?m/2?-1，而与该结点相邻的右（左）兄弟结点中的关键字数目大于?m/2?-1，只需将该兄弟结点中的最小（或者最大）的关键字上移到双亲结点中，然后将双亲结点中小于（或者大于）且紧靠该上移关键字的关键字移动到被删关键字所在的结点中。如在上图中删除关键字 50，其右兄弟结点 g 中的关键字大于2，所以需要将结点 g 中最小的关键字 61 上移到其双亲结点 e 中（由此 e 中结点有：53，61，90），然后将小于 61 且紧靠 61 的关键字 53 下移到结点 f 中，最终删除后的 B-树如下所示。
?m/2?-1，假设其有右兄弟结点，且其右兄弟结点是由双亲结点中的指针 Ai 所指，则需要在删除该关键字的同时，将剩余的关键字和指针连同双亲结点中的Ki一起合并到右兄弟结点中。例如，在上中 B-树中删除关键字 53，由于其有右兄弟，且右兄弟结点中只有 1 个关键字。在删除关键字 53 后，结点 f 中只剩指向叶子结点的空指针，连同双亲结点中的 61（因为 61 右侧指针指向的兄弟结点 g）一同合并到结点 g 中，最终删除 53 后的 B-树如下所示：
在合并的同时，由于从双亲结点中删除一个关键字，若导致双亲结点中关键字数目小于
?m/2?-1，则继续按照该规律进行合并。例如上中 B-树的情况下删除关键字 12 时，结点 c 中只有一个关键字，然后做删除关键字 37 的操作。此时在删除关键字 37 的同时，结点 d 中的剩余信息（空指针）同双亲结点中的关键字 24 一同合并到结点 c 中，效果图如下：
由于结点 b 中一个关键字也没有，所以破坏了B-树的结构，继续整合。在删除结点 b 的同时，由于 b 中仅剩指向结点 c 的指针，所以连同其双亲结点中的 45 一同合并到其兄弟结点 e 中，最终的B-树如下：
由于 B-树具有分支多层数少的特点，使得它更多的是应用在数据库系统中。
该部分只做兴趣了解。
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| B+树的插入、删除图文详解 | 博客园-nullzx |
一颗 m 阶的 B+树和 m 阶的 B-树的差异在于：
在上面有说，在 B-树中的每个结点关键字个数 n 的取值范围为
?m/2? -1≤n≤m-1，而在 B+树中每个结点中关键字个数 n 的取值范围为：?m/2?≤n≤m。
例如，下图所示的就是一棵深度为 4 的 3 阶 B+树：
如上图所示，B+树中含有两个头指针，一个指向整棵树的根结点，另一个指向关键字最小的叶子结点。同时所有的叶子结点依据其关键字的大小自小而大顺序链接，所有的叶子结点构成了一个 sqt 指针为头指针的链表。
所以，B+树可以进行两种查找运算：
一种是利用 sqt 链表做顺序查找
另一种是从树的根结点开始，进行类似于二分查找的查找方式。
在 B+树中，所有非终端结点都相当于是终端结点的索引，而所有的关键字都存放在终端结点中，所有在从根结点出发做查找操作时，如果非终端结点上的关键字恰好等于给定值，此时并不算查找完成，而是要继续向下直到叶子结点。
B+树的查找操作，无论查找成功与否，每次查找操作都是走了一条从根结点到叶子结点的路径。
在B+树中插入关键字时，需要注意以下几点：
B+树中做插入关键字的操作，有以下 3 种情况：
一棵初始深度为 4 的 3 阶 B+树：
若被插入关键字所在的结点，其含有关键字数目小于阶数 M，则直接插入结束；
例如，在上面的初始B+树中插入关键字13，其结果如下图所示：
若被插入关键字所在的结点，其含有关键字数目等于阶数 M，则需要将该结点分裂为两个结点，一个结点包含?M/2?，另一个结点包含?M/2?。同时，将?M/2?的关键字上移至其双亲结点。假设其双亲结点中包含的关键字个数小于 M，则插入操作完成。
例如，在上面的初始B+树中插入关键字 95，其插入后的 B+树如下图所示：
在第 2 情况中，如果上移操作导致其双亲结点中关键字个数大于 M，则应继续分裂其双亲结点。
例如，在上面的初始B+树插入关键字 40，则插入后的 B+树如下所示：
注意：如果插入的关键字比当前结点中的最大值还大，破坏了B+树中从根结点到当前结点的所有索引值，此时需要及时修正后，再做其他操作。例如，上面初始的B+树中插入关键字 100，由于其值比 97 还大，插入之后，从根结点到该结点经过的所有结点中的所有值都要由 97 改为 100。改完之后再做分裂操作。
在 B+树中删除关键字时，有以下几种情况：
一棵初始深度为 4 的 3 阶 B+树：
找到存储有该关键字所在的结点时，由于该结点中关键字个数大于?M/2?，做删除操作不会破坏 B+树，则可以直接删除。
例如，在上面初始的B+树中删除关键字 91，删除后的 B+树如下所示：
当删除某结点中最大或者最小的关键字，就会涉及到更改其双亲结点一直到根结点中所有索引值的更改。
例如，在上面初始的B+树中删除关键字 97，删除后的 B+树如下所示：
当删除该关键字，导致当前结点中关键字个数小于?M/2?，若其兄弟结点中含有多余的关键字，可以从兄弟结点中借关键字完成删除操作。
例如，在上面初始的B+树中删除关键字 51，由于其兄弟结点中含有 3 个关键字，所以可以选择借一个关键字，同时修改双亲结点中的索引值，删除之后的 B+树如下所示：
第 3 种情况中，如果其兄弟结点没有多余的关键字，则需要同其兄弟结点进行合并。
例如，在第三种情况中的 B+树中删除关键字 59，删除后的 B+树如下所示:
当进行合并时，可能会产生因合并使其双亲结点破坏 B+树的结构，需要依照以上规律处理其双亲结点。
例如，在第二种情况中的 B+树中删除关键字 63，当删除后该结点中只剩关键字 72，且其兄弟结点中只有 2 个关键字，无法实现借的操作，只能进行合并。但是合并后，合并后的效果图如下所示：
如上图所示，其双亲结点中只有一个关键字，而其兄弟结点中有 3 个关键字，所以可以通过借的操作，来满足 B+树的性质，最终的 B+树如下所示：
总之，在 B+树中做删除关键字的操作，采取如下的步骤：
删除该关键字，如果不破坏 B+树本身的性质，直接完成操作；
如果删除操作导致其该结点中最大（或最小）值改变，则应相应改动其父结点中的索引值；
在删除关键字后，如果导致其结点中关键字个数不足，有两种方法：一种是向兄弟结点去借，另外一种是同兄弟结点合并。（注意这两种方式有时需要更改其父结点中的索引值。）
由于B+树更多的是用于文件索引系统，只需要了解实现过程即可。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/wangzheming35/p/12821297.html
