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模糊集理论,也称为模糊集合论,或简单地称为模糊集,1965年美国学者扎德在数学上创立了一种描述模糊现象的方法—模糊集合论。这种方法把待考察的对象及反映它的模糊概念作为一定的模糊集合，建立适当的隶属函数，通过模糊集合的有关运算和变换，对模糊对象进行分析。模糊集合论以模糊数学为基础，研究有关非精确的现象。客观世界中，大量存在着许多亦此亦彼的模糊现象。本文研究了基于模糊集图像分割在人脸美颜上的应用。要对人脸进行美颜，前提是要准确的定位到准确的部位，然后通过图像处理，得到想要的结果。本文先介绍了基于模糊集的二值分割和聚类，再介绍了如何将基于模糊集图像分割的方法应用到人脸美颜中。
关键词：\(模糊集\quad 二值分割\quad 聚类分割 \quad 人脸美颜\)
该算法是清华大学黄良凯（Liang-kai Huang) 所提出来的[1]，因此国外一些论文里和代码里称之为Huang‘s fuzzy thresholding method。该论文结合了当时处于研究热潮的模糊集理论，提出了一种具有较好效果的图像二值化算法。
设X代表一副大小为M×N的具有L个色阶的灰度图像，而\(X_{mn}\)代表图像X中点(m, n)处的像素灰度值，定义\(\mu_X(x_{mn})\)表示该点具有某种属性的隶属度值，也就是说我们定义了一个从图像X映射到[0,1]区间的模糊子集，用模糊集表达，即有：
其中 \(0≤\mu_X(x_{mn})≤1, m=0,1,...M-1, n=0,1,...N-1\)。对于二值化来说，每个像素对于其所属的类别（前景或背景）都应该有很相近的关系，因此，我们可以这种关系来表示\(\mu_X(x_{mn})\)的值。
定义H(g)表示图像中具有灰度级g的像素的个数，对于一个给定的阈值t,背景和前景各自色阶值的平均值\(\mu_0\)和\(\mu_1\)可用下式表示：
其中， L是色阶，一般的，取L=256。
上述\(\mu_0\)和\(\mu_1\)，可以看成是指定阈值t所对应的前景和背景的目标值，而图像X中某一点和其所述的区域之间的关系，在直觉上应该和该点的色阶值与所属区域的目标值之间的差异相关。因此，对于点(m, n)，我们提出如下的隶属度定义函数：
其中C是一个常数，该常数使得\(0.5 \leq \mu_X(x_{mn}) \leq 1\)。因此，对于一个给定的阈值t，图像中任何一个像素要么属于背景，要么属于前景，因此，每个像素的隶属度不应小于0.5。C值在实际的编程中，可以用图像的最大灰度值减去最小灰度值来表达，即 \(C=g_{max}-g_{min}\);
模糊度表示了一个模糊集的模糊程度，有好几种度量方式，本文使用了香农熵函数来度量模糊度。基于香农熵函数，一个模糊集A的熵定义为：
其中， 香农公式为：
拓展到二维，图像X的熵可以表示为：
因为灰度图像至多只有L个色阶，因此使用直方图式（7）可进一步写成：
E(X)具有以下属性：
(1). 0≤E(X)≤1 ;
(2). 如果\(\mu_x(X_{mn}) = 0\)或者\(\mu_x(X_{mn}) = 1\)时，E(X)具有最小值0，在本文中\(\mu_x(X_{mn})\)只可能为1，此时分类具有最好的明确性。
(3). 当\(\mu_x(X_{mn}) = 0.5\)，E(X)获得最大值1，此时的分类具有最大的不明确性。
那么对于图像X，我们确定最好的阈值t的原则就是：对于所有的可能的阈值t,取香农熵值最小时的那个t为最终的分割阈值。
原图像
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聚类，就是将一组给定的未知类标号的样本分成内在的多个类别，使得同一类中的样本具有较高的相似度，而不同的类中样本差别大。 1973年，J.C. Bezdek提出了里程碑式的模糊C均值聚类算法(FCM)[2]，通过引入样本到聚类中心的隶属度，使准则函数不仅可微，且软化了模式的归属。在众多模糊聚类算法中，FCM算法应用最广泛且较成功，它通过优化目标函数得到每个样本点对所有类中心的隶属度，从而决定样本点的类属以达到自动对样本数据进行分类的目的。
根据聚类的数目C和和一组包含N个数据的L维向量\(X_k\)， 用FCM算法输出元素的隶属度\(\mu{ij}\), 它表示数据&X_j&属于第 i 类的概率，通过求下面式子的目标函数的最小值得到，通常取m=2。
式（2.1）的约束条件为：
(2.1)式的约束条件下，可以求得目标函数取最小值时相应的隶属度矩阵和聚类中心。通常，该最小值用极小值代替，因此分别对各变量求偏导，并令偏导数为0，联立并解出更新后的模糊隶属度和聚类中心，如下公式(2.2)(2.3)。
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【这个插入一个整个的流程图】
[1]. Image thresholding by minimizing the measure of fuzziness
[2]. J.C. Bezdek, L.O. Hall, L.P. Clark, Review of MRsegmentation technique in pattern recognition[J], Medical Physics 10 (20) (1993) 33–48.
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原文地址：https://www.cnblogs.com/hichens/p/12826900.html
