标签：ali end sub 容斥 方式 begin strong spl 活着
一道生成函数题，要结合容斥。
首先有个技巧：设猎人\(i\)还活着，他被开枪的概率为剩下猎人中按权值分配的概率，这样很麻烦，还需要知道剩余哪些人，其实等价于人都在，但被开枪到死人时要重新开枪的概率。因为对于活着的猎人，被开枪仍然概率不变。这点很重要，因为仍然可以用\(p_i=\dfrac{w_i}{tot}\)表示概率，其中\(tot=\sum\limits_j w_j\)。
直接算出来\(1\)号猎人最后挂掉的概率很麻烦，考虑容斥。设集合\(S\subset\{2,3,\dots,n\}\)表示猎人编号的集合，则可以容斥得到
\(Pr(S)\)表示挂在\(1\)号猎人后面至少为\(S\)中的猎人的概率。现在来分析这个东西，那么显然前面若干次一定是\(\overline S\)中的人，除了\(1\)号被淘汰时立刻停止，否则继续。显然是一个无穷级数的求和。记\(tot=\sum w_i\)，\(sum=\sum_{i\in S}w_i\)，那么有
那么上面的式子就变成
根据数据范围提示，转变枚举方式，考虑枚举\(tot\)，这个与\(S\)有关，记\(f(i)=\sum_{tot=i}(-1)^{\mid S\mid}\)，那么式子就变成了
问题就变成了求解\(f\)。使用生成函数构造出\(f\)，令\(F=\prod(1-x^{w_i})\)，则\(f(i)=[x^i]F(x)\)。至此问题得解。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/ac-evil/p/12838929.html
