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牛顿迭代

用途

解出一个关于\(F(x)\)的方程

如\(f(F(x))=F(x)^2-G(x)=0(\mod x^n)\)

这里我们必须分清楚的点是

1.方程的元是\(F(x)\)

2.\(G(x)\)是方程的常数项

实际上，这个\(f(F(x))\)把元换掉之后等价于\(f(x)=x^2+c\)，其中\(c\)是常数

前置知识1

前置知识2(只需要会求逆就可以了)

牛顿迭代

我们依然考虑对于方程先求出\(f(G(x))=0 (\mod x^\frac{n}{2})\)

下文中由于\(F(x),G(x)\)太长，我们全部用\(F,G\)替换

那么我们依然有\((F-G)^2=0(\mod x^n)\)

带入\(f(F)\)在\(G\)上的泰勒展开

其中\(f^{(i)}\)表示\(f(x)\)的\(i\)阶导数，由于\((F-G)^2=0(\mod x^n)\)

所以我们不考虑\(i>1\)的项

\(\therefore f(F)=f(G)+f‘(G)(F-G)=0\)

\(F=G-\frac{f(G)}{f‘(G)}\)

那么我们只需要能够求出\(f‘\)，就能够求得\(F\)

牛顿迭代

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原文地址：https://www.cnblogs.com/chasedeath/p/12859142.html