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矩阵论练习2

时间:2020-05-09 19:10:27      阅读:70      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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题目

\(A\)\(s\times n\) 矩阵,\(b\)\(s\) 维列向量。证明:

  1. \(Rank(A) = Rank(A^HA)\)
  2. 线性方程组 \(A^HAx = A^Hb\) 恒有解
    其中 \(A^H\)\(A\) 的共轭转置矩阵

证明

  1. 证明 \(Ax= 0\)\(A^HA x=0\) 同解即可。因为对于 \(Ax=0, A\in R^(s\times n)\),如果矩阵\(A\)秩为 \(r\),则基础解系的向量个数为 \(n-r\)。反之,如果基础解系的向量个数相同,则 \(Rank(A)\) 相同。上面两个等式的解系分别记为 \(S_0, S_1\)

(1) 证 \(x \in S_0 \rightarrow x\in S_1\)

\[\because x \in S_0, it‘s Ax = 0, \therefore A^HAx = A^H(Ax) = 0 \]

(2) 证 \(x \in S_1 \rightarrow x \in S_0\)

\[ \because x \in S_1, \ it‘s\ A^H Ax = 0, \ \therefore x^H (A^H A x) = 0 \ x^H(A^H A x) = (Ax)^H (Ax) = 0 \ \therefore Ax = 0 \]

  1. 证明 \(Rank(A^H A) = Rank(A^H A, A^H b)\) 即可。通过证明 \(Rank(A^H A) \le Rank(A^H A, A^H b)\)\(Rank(A^H A) \ge Rank(A^H A, A^H b)\) 证明。

(1) 证 \(Rank(A^H A) \le Rank(A^H A, A^H b)\)
因为不等式右面是左面的增广矩阵,所以上面不等式成立。

(2) 证 \(Rank(A^H A) \ge Rank(A^H A, A^H b)\)

\[Rank(A^H A) = Rank(A)\Rank(A^H A, A^H b) = Rank(A^H( A, b)) \le Rank(A^H) = Rank(A) \\]

证毕。

矩阵论练习2

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原文地址:https://www.cnblogs.com/forcekeng/p/12859324.html

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