矩阵论练习11（线性映射的矩阵）

标签：不同   线性变换   tar   tla   lin   alpha   通过   row   映射   

定义

设 \(f\in Hom(V,U)\)。选定基偶：

若 \((f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_s))=(\beta_1,\cdots,\beta_n)A\) ，则称 \(A\) 是 \(f\) 在选定基偶下的矩阵。
\(f\in Hom(V,U)\) 代表 \(f:V\rightarrow U\) 是一个线性映射。
如果 \(U=V\)，那可以把基取得一样。如果有

则称 \(A\) 是线性变换 \(f\) 在所选基下的矩阵。

题目

\(f\in Hom(F^{2\times 2}, F^{2\times 2})\) 定义为：

其中，\(f(X) = \left ( \begin{matrix} a & b \c & d \end{matrix} \right ) \in F^{2\times 2}\),
求 \(f\) 在基 \(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\) 下的矩阵。

解答

按照定义搭好框架，一步一步来即可。为了书写方便，矩阵采用Matlab写法，即不同行用分号隔开。
定义域中基 \(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\),代入 \(f(X)\)，得

因此，

右方即为所求的矩阵，记为 \(A\)。\(A\) 的每一列通过把 \(E_{11},\cdots,E_{22}\) 进行线性组合得到一个 \(f\) 的变换。

矩阵论练习11（线性映射的矩阵）

标签：不同   线性变换   tar   tla   lin   alpha   通过   row   映射   

原文地址：https://www.cnblogs.com/forcekeng/p/12880211.html