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文章较长且大量使用 \(\LaTeX\) 导致渲染较慢，因此分为两个部分
由于计数方面的知识非常的繁细，容易忘记，使用时不够熟练，这里总结一下
以下内容有所借鉴百度百科和大佬的 blog %%%
排列：指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序
组合：组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序
第一类办法中有 \(m_1\) 种不同的方法，在第二类办法中有 \(m_2\) 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 \(m_n\) 种不同的方法，那么完成这件事共有 \(N=m_1+m_2+m_3+…+m_n\) 种不同方法
做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 \(m_1\) 种不同的方法，做第二步有 \(m_2\) 种不同的方法，……，做第n 步有 \(m_n\) 种不同的方法，那么完成这件事共有 \(N=m_1×m_2×m_3×…×m_n\) 种不同的方法。
很好理解，每个 \((a+b)\) 中可以选出 a 或 b，最终有 k 个 a 的方案数就是 \(n \choose k\)
其他变形，在部分题可以应用
容易发现其与二项式系数有着对应关系
对组合数 \(n \choose k\)：将 n，k 分别化为二进制，若某二进制位对应的 n 为 0，而 k 为 1，则 \(n \choose k\) 为偶数；否则为奇数。
\(\sum_{i=0}^k{n \choose i}{m \choose k-i}= {n + m\choose k}\)
理解：从两堆共选 k 可表示为枚举第一堆选多少的方案数 * 第二堆的方案数
\(\sum_{i=1}^n{n \choose i}{n \choose i-1} = { 2n\choose n-1}\)
可以从第一个式子推来，将 \({n \choose i}\) 化为 \(n \choose n-i\) 即可
\(\sum_{i=0}^n{n\choose i}^2={2n \choose n}\)
\(\sum_{i=0}^m{n \choose i}{m \choose i}={n+m \choose m}\)
将 n 个苹果排成一列，发现有 n - 1 的空隙，在其中 m 个空隙中插上隔板，两个隔板中的苹果扔到同一个箱子里即可，如果可以为零就加上 m 个虚拟苹果
问题：有 m 种球每种球都是足够多的，有 n 个相同盒子，现在要把盒子塞满(一种球可以用多次)，多少种方案？
枚举每种球放入几个盒子，隔板法解决即可
将 n 个盒子的球按编号排序，第 i 个变为 \(a_i+i\)，这样可以保证每个盒子里的球编号互不相同了，发现任意从 \([2, n + m]\) 选出来 n 个数都可以还原到原来的数列
问题：有 n 个球，m 个盒子，选出的球不能相邻（即i 和 i + 1 不可同时选择），有多少种组合方式？
同可重集合将[1, n] 缩小到 [0, n-m]，易证
从坐标原点走到 \((n,m)\) 的方案数是
没啥好说的。。。
以前从未听说QAQ
从坐标 \((n+1,m)\) 开始，枚举第一步向下走多少步，且从左边走过来
画个图会很好理解
奇怪的名称增加了
从 n 中选 l 个再从 l 中选 r 个等价于直接从 n 中选 r 个，再从剩下的选 \(l - r\) 个
直接走定义式也可证明
二项式定理令 \(x = 1, y = -1\) 即可证明
对于 x 元素来说，有一半的集合包含它，一半的集合不包含，包含它的奇子集将它去掉变为不包含它的偶子集，不包含它的奇子集加上它变为包含它的偶子集，得证！
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Hs-black/p/12881301.html
