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逻辑回归、正则化、感知机

正则化

为避免过拟合，增强模型的泛化能力，可以使用正则化的方法。

1. Lasso回归--L1正则化

   \[J(\theta)=\frac{1}{2n}(\mathtt X\theta-Y)^T(\mathtt X\theta-Y)+\alpha\lVert \theta\rVert_1 \]

   \(\alpha\)为常数系数，需要进行调优，\(\lVert\theta\rVert_1为\)\(L_1\)范数。

2. Ridge回归--L2正则化

   \[J(\theta)=\frac{1}{2}(\mathtt X\theta-Y)^T(\mathtt X\theta-Y)+\frac{1}{2}\alpha\lVert \theta\rVert_2^2 \]

   \(\alpha\)为常数系数，需要进行调优，\(\lVert\theta\rVert_2^2\)为\(L_2\)范数。

使用scikit-learn运行Ridge回归

ridge = Ridge(alpha=1)
ridge.fit(X_train,y_train)
print(ridge.coef_) #打印模型参数
print(ridge.intercept_)

使用scikit-learn研究超参数\(\alpha\)和回归系数\(\theta\)的关系

alphas = np.logspace(-10,-2,200) #生成200个alpha在10的－10次方到－2次方之间
clf = linear_model.Ridge(fit_intercept=False)
coefs = []
for a in alphas:
    clf.set_params(alpha=a)
    clf.fit(X,y)
    codefs.append(clf.coef_)#将参数保存

\(\alpha\)越大，那么正则项惩罚越厉害，得到的回归系数\(\theta\)就越小，最终趋近于0；

\(\alpha\)越小，那么正则项惩罚越小，得到的回归系数\(\theta\)就越接近普通的线性回归系数。

逻辑回归

1. 逻辑回归是一个分类的算法。

   对于离散型的数据，如何进行分类，对于输入向量X，构建函数\(g(\mathtt X)\)使得其值落于某个区间内的话就分为A类，否则分为B类，这就是最基本的用逻辑回归做二分类的思想。这个函数g我们经常使用sigmoid函数，具有较好的性质。

   \[g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}\h_\theta(x)=\frac{1}{1+e^{-x\theta}}\h_\theta(\mathtt X)=\frac{1}{1+e^{-X\theta}} \]

2. 逻辑回归的损失函数

   逻辑回归的损失函数经常使用极大似然函数表示，并对其取对数。

   \[L(\theta)=\prod_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}))^{y^{(i)}}(1-h_\theta(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}\J(\theta)=-lnL(\theta)=-\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}\log(h_\theta(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})\log(1-h_\theta(x^{(i)})))\J(\theta)=-\mathtt Y^T\log h_\theta(\mathtt X)-(\mathtt E-\mathtt Y)^T\log(\mathtt E-h_\theta(\mathtt X)) \]

3. 逻辑回归优化方法

   \[\theta=\theta-\alpha X^T(h_\theta(X)-Y) \]

4. 推广到多元逻辑回归

   某种类型为正值，其他为0，这种方法被称为one-vs-rest，简称OvR；

   选择两部分的样本分别做逻辑回归，称为Many-vs-Many，简称MvM；

   二元逻辑回归的概率表示如下：

   \[P(y=1|x,\theta)=h_\theta(x)=\frac{1}{1+e^{-x\theta}}=\frac{e^{x\theta}}{1+e^{x\theta}}\P(y=0|x,\theta)=1-h_\theta(x)=\frac{1}{1+e^{x\theta}}\\]

   其中，y只能取0和1，推广到多分类问题，使用softmax函数

   \[P(y=k|x,\theta)=\frac{e^{x\theta_k}}{1+\sum_{t=1}^{K-1}e^{x\theta_t}}\quad k=1,2,...,K-1\P(y=K|x,\theta)=\frac{1}{1+\sum_{t=1}^{K-1}e^{x\theta_t}}\\]

scikit-learn逻辑回归库使用

1. 常用的类

   LogisticRegression

   LogisticRegressionCV：使用了交叉验证来选择正则化参数C

   logistic_regression_path：主要是为了选择模型时使用，确定回归系数和正则化参数。

2. 正则化参数penalty

   penalty的值可以是l1或者l2，分别对应L1和L2正则化，默认是L2。一般选择L2就够了，如果还是过拟合，即预测效果差的情况，可以选择L1。如果模型特征非常多，希望一些不重要的参数系数归零，从而使模型系数称稀疏化，也可使用L1正则化。

   penalty会影响损失函数的优化算法，即solver选择，如果L2则solver可以选择以下四种：newtow-cg、lbfgs、linear、sag，如果是L1，只能选择linear，因为L1正则化loss函数不是连续可导的。

3. 优化算法参数solver

   newtow-cg、lbfgs、linear、sag

4. 分类方法选择参数multi_class

   ovr和multinomial

5. 类型权重参数class_weight

   用于标示分类模型各种类型的权重，解决“误分类代价很高”和“样本高度失衡”的问题。

6. 样本权重参数sample_weight

   解决样本失衡问题。

from sklearn.model_selection import GridSearchCV
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.learning_curve import learning_curve

param_LR = {‘C‘: [0.1, 1, 2]}
gsearch_LR = GridSearchCV(estimator=LogisticRegression(penalty=‘l1‘,solver=‘liblinear‘),
                          param_grid=param_LR, cv=3)

感知机模型

1. 模型概念

   感知机模型是存在一个超平面\(\sum_{i=0}^m\theta_ix_i=0\)，能够将数据完全分开，定义为：\(y=sign(\theta\cdot x)\)其中：

   \[sing(x)= \begin{cases} -1\quad x\lt0\1\quad x\ge0 \end{cases} \]

2. 损失函数

   期望所有的样本到超平面的距离之和最小，点到超平面的距离为\(\frac{-y^{(i)}\theta\cdot x^{(i)}}{\lVert \theta\rVert^2}\)，其中\(\lVert\theta\rVert_2\)为L2范数。所有点到超平面的距离之和为\(\frac{-\sum_{x_i\in M}y^{(i)}\theta\cdot x^{(i)}}{\lVert\theta\rVert_2}\)，可以简化为

   \[J(\theta)=-\sum_{x_i\in M}y^{(i)}\theta\cdot x^{(i)} \]

3. 损失函数的优化方法

   一般采用梯度下降法进行优化

4. 感知机模型是支持向量机、神经网络等算法的鼻祖

逻辑回归、正则化、感知机

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原文地址：https://www.cnblogs.com/guesswhy/p/12882850.html