素数筛时间空间优化

时间优化

普通素数筛原理 ：素数的倍数一定不是素数；据此筛选素数。

 1void work1()
 2{
 3    int cnt=0;
 4    for(int i=2; i<=n; i++)
 5    {
 6        if(!flag[i])
 7        {
 8            prime[cnt++]=i;
 9            /**在此处可有个小优化 j=i*i ，但是i*i可能爆int */
10            /**因为>=2 && <i 那部分在 i=2~i-1 中已经标记了 */
11            for(int j=i*2; j<=n; j+=i)
12                flag[j]=1;
13        }
14
15    }
16}

可以发现，在标记某些数字的时候，出现了重复：比如 12，在 i=2 时访问到以后，在 i=3 使也能访问到。

那么就进行改进 ，保证每个数字只被访问一次。

时间优化原理 ：每个合数必有一个最小素因子，根据每个最小素因子去访问合数就能防止重复访问。

 1void work2()
 2{
 3    int cnt=0;
 4    memset(flag,0,sizeof(flag));
 5    for(int i=2; i<=n; i++)
 6    {
 7        if(!flag[i])
 8            prime[cnt++]=i;
 9
10        for(int j=0; (i*prime[j]<=n) && (j<cnt) ; j++)
11        {
12            flag[i*prime[j]]=1;///素数的倍数
13            if(i%prime[j]==0)/**保证每个数只被标记一次*/
14                break;
15        }
16    }
17}

理解 break 语句，当 i = 4 时 ，只标记8，然后跳出；其实可标记的还有：12，20，28……但是，因为 4%2==0 ,所以 i = 6时标记12，i = 10 时标记 20，i = 14 时标记28；

它们均可由 2 * i 得到。

空间优化

空间优化原理：因为 int 型数字有4字节 = 32位，我们可用每一位上的 0 1 来作为标记。

PS：这个方法给我的感觉是操作系统中的分页管理存储方式

 1void work3()
 2{
 3    int cnt=0;
 4    for(int i=2;i<=n;i++)
 5    {
 6        /**相当于分页 ，第 i/32 页第 (i%32) 位*/
 7        if(!(f[i/32] &(1<<(i%32))))
 8            prime[cnt++]=i;
 9
10        for(int j=0;(j<cnt)&&(i*prime[j]<=n);j++ )
11        {
12            int t=i*prime[j];
13            f[t/32] |= (1<<(t%32));
14            if(t==0)
15                break;
16        }
17    }
18}

撸代码：

 1#include<stdio.h>
 2#include<string.h>
 3#define N 10000000
 4const int n=1e2;
 5bool flag[N];
 6int prime[5900000];
 7/**
 8素数的倍数一定不是素数
 9*/
10void work1()
11{
12    int cnt=0;
13    for(int i=2; i<=n; i++)
14    {
15        if(!flag[i])
16        {
17            prime[cnt++]=i;
18            for(int j=i*2; j<=n; j+=i)
19                flag[j]=1;
20        }
21
22    }
23}
24
25/**每个合数必有一个最小素因子，
26根据每个最小素因子去访问合数就能防止重复访问*/
27void work2()
28{
29    int cnt=0;
30    memset(flag,0,sizeof(flag));
31    for(int i=2; i<=n; i++)
32    {
33        //printf("\n %d: *********\n",i);
34        if(!flag[i])
35            prime[cnt++]=i;
36        for(int j=0; (i*prime[j]<=n) && (j<cnt) ; j++)
37        {
38            flag[i*prime[j]]=1;///素数相乘的倍数
39          //  printf("%d ",i*prime[j]);
40            if(i%prime[j]==0)/**保证每个数只被标记一次*/
41                break;
42        }
43    }
44}
45/**空间优化*/
46/***/
47int f[N/32];
48void work3()
49{
50    int cnt=0;
51    for(int i=2;i<=n;i++)
52    {
53        /**相当于分页 ，第 i/32 页第 (i%32) 位*/
54        if(!(f[i/32] &(1<<(i%32))))
55            prime[cnt++]=i;
56
57        for(int j=0;(j<cnt)&&(i*prime[j]<=n);j++ )
58        {
59            int t=i*prime[j];
60            f[t/32] |= (1<<(t%32));
61            if(t==0)
62                break;
63        }
64    }
65}
66int main()
67{
68    work3();
69    for(int i=0; i<100; i++)
70        printf("%d ",prime[i]);
71    return 0;
72}