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群

群是一个在定义运算中封闭的集合，群\(G=(S,*)\),\(S\)表示群中的元素，\(*\)是一个定义于\(S\)中元素的二元运算,且具有以下性质

1.封闭性:\(\forall p1,p2\in G,p1*p2\in G\)

2.结合律:\(p1*(p2*p3)=(p1*p2)*p3\)

3.存在单位元:\(p*e=e*p=p\)

4.存在逆元:\(p1*p2=p2*p1=e\),\(p1,p2\)互为逆元,且逆元唯一

特别的，如果G中元素满足交换律，则称其为一个阿贝尔群

群阶:\(\mid G\mid=\mid S\mid\),集合中元素个数

对于运算\(p1*p2\),可简写为\(p1p2\)，\(p^k\)等价于\(\Pi_{i=1}^kp\)

对于运算\(p1*p2=p1*p3\),存在\(p2=p3\)

运算\((p1*p2)^{-1}\)等于\(p1^{-1}*p2^{-1}\)

子群

集合H是G的子集，若H关于\(*\)封闭，则H称为G的子群

子群存在与全集相同的逆元和单位元

陪集

对于G,它的子群H的左陪集aH定义为\(\{{ah\mid h\in S}\}\),右陪集同理

陪集还是一个类似的集合，比如\((R,+)\)的子群\((Z,+)\),在R中找一个数，比如2，对Z中每一个数+2后形成的新集合，就称为2确定的\((R,+)\)中整数子群的左陪集

现在讨论右陪集的性质，左陪集同理

这个性质说明可以将群G划分为一个子群互不相交的集合的并，并可以由此推导出拉格朗日定理

\(\mid G\mid=\mid G:H\mid *\mid H\mid\),其中\(G:H\)表示G的子群H的不同右陪集个数

置换群基础概念

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原文地址：https://www.cnblogs.com/nebulyu/p/12900788.html