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本文将一步一步探索如何描述三维空间中的刚体运动（平移+旋转）。
在2D平面中，两个向量之间的变换可以用两个坐标加旋转角表达；
在3D空间中描述刚体需要一些别的概念来描述（略写），主要有：坐标系（参考系）；点；向量；向量的坐标。
考虑一次旋转：坐标系\(（e1,e2,e3)\)发生了旋转，变成\(e_1‘,e_2‘,e_3‘)\)，而向量a不动，那么它的坐标如何变化?
其中，??称为旋转矩阵,可以验证：
? R是一个正交矩阵；
? R的行列式为+1。
? 满足这两个性质的矩阵称为旋转矩阵
?Special Orthogonal Group 特殊正交群
于是，1到2的旋转可表达为：\(??_1=??_{12}??_2\)，反之：\(??_2=??_{21}??_1\)。(要注意下标顺序)
矩阵关系：\(??_{21}=??_{12}^{?1}=??_{12}\)
除了旋转矩阵/变换矩阵之外，还存在其他的表示方式；旋转矩阵R有九个元素，但仅有三个自由度；能否以更少的元素表达旋转？
旋转向量：1.方向为旋转轴，长度为转过的角度；2.称为角轴/轴角（AngleAxis）或旋转向量（RotationVector）。
旋转向量与矩阵的不同：1.它仅有三个量 ；2.无约束；3. 更直观。它们可以是同一个旋转的不同表达方式。
罗德里格斯公式（Rodrigues’sFormula）：
（可以想办法证明这个公式）
?旋转矩阵转向量：
欧拉角（ Euler Angles)
将旋转分解为三个方向上的转动例，按Z-Y-X顺序转动
轴可以是定轴或动轴，顺序亦可不同
常见的有：yaw-pitch-roll，东北天
不同领域的习惯有所不同
1.绕物体的乙轴旋转，得到偏航角yaw
2.绕旋转之后的Y轴旋转，得到俯仰角 pitch
3.绕旋转之后的X轴旋转，得到滚转角roll。
万向锁
旋转矩阵用9个量描述3自由度的旋转，具有冗余性；欧拉角和旋转向量是紧凑的，但具有奇异性。事实上，我们找不到不带奇异性的三维向量描述方式[19]。这有点类似于用两个坐标表示地球表面（如经度和纬度），将必定存在奇异性（纬度为+-90? 时经度无意义）。
一个四元数q 拥有一个实部和三个虚部。如下：
\(q = q_0 + q_1i + q_2j + q_3k\);
其中i; j; k 为四元数的三个虚部。这三个虚部满足以下关系式：
如果把i; j; k 看成三个坐标轴，那么它们与自己的乘法和复数一样，相互之间的乘法和外积一样。有时人们也用一个标量和一个向量来表达四元数：
\(q = [s; v]^T, s = q_0 \in R, v = [q_1; q_2; q_3]^T\in R^3\)
这里，s称为四元数的实部，而v称为它的虚部。如果一个四元数的虚部为0，称之为实四元数。反之，若它的实部为0，则称之为虚四元数
四元数和通常复数一样，可以进行一系列的运算。常见的包括四则运算、数乘、求逆、共轭等。下面将分别介绍。
现有两个四元数\(q_a,q_b\)，它们的向量表示为\([s_a; v_a]T; [s_b; v_b]T\)，或者原始四元数表示为：
\(q_a = s_a + x_ai + y_aj + z_ak; q_b = s_b + x_bi + y_bj + z_bk\).
四元数到角轴：\(q=[cos(\theta/2).n_xsin(\theta/2),n_ysin(\theta/2),n_zsin(\theta/2)]\)
角轴到四元数：
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原文地址：https://www.cnblogs.com/guoben/p/12900485.html
