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原创 如何通俗理解贝叶斯推断与beta分布？
有一枚硬币（不知道它是否公平），假如抛了三次，三次都是“花”： 能够说明它两面都是“花”吗？ 1 贝叶斯推断 按照传统的算法，抛了三次得到三次“花”，那么“花”的概率应该是： 但是抛三次实在太少了，完全有可能是运气问题。我们应该怎么办？ 托马斯·贝叶斯（1702－1761），18世纪英国数学家，1742年成为英国皇家学会会员。 贝叶斯认为在实验之前，应根据不同的情况对硬...
2018-07-19 14:32:45
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原创 如何理解几何分布与指数分布的无记忆性？
在经济学上，有一个概念是沉没成本，大概指的是已经付出的、且不可收回的成本。针对这个概念有一个常见的说法： 这句话的意思是，既然沉没成本不可收回，那么在做选择的时候就不应该考虑它。举一个简单的例子，买票去看电影，放映10分钟你就知道这是一部烂片，那么有两个选项（图片出自沉没成本谬误）： 此时这张电影票已经消费了，没有办法收回，购买电影票的钱就是沉没成本。这个时候如果想离开电影院就直接离开...
2019-09-29 11:29:09
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原创 概率论发展的转折点：贝特朗悖论
和所有的数学分支类似，概率论的也是经历了从直觉到严格的过程。其中的一个转折点就是贝特朗悖论。 1 古典派 古典派也就是高中时候学的概率论。它的核心哲学思想是：不充分理由原则。 1.1 不充分理由原则 雅各布·伯努利（1654－1705）： 提出，如果因为无知，使得我们没有办法判断哪一个结果会比另外一个结果更容易出现，那么应该给予它们相同的概率。比如： 硬币：由于不清楚硬币哪一面...
2019-07-31 15:59:51
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原创 如何通俗地理解协方差和相关系数？
1 正相关与负相关 1.1 相关性 事物之间可能会有关系，这可以通过数据看出。比如要买房的人越多（下图的城镇化率可以简单理解为进城买房的人数），房价就越高，两者的关系称为正相关 ： 城镇化有另外一个反作用，降低出生率。城镇化和出生率之间的关系就是负相关 ，也就是说城镇化率越高、出生率会越低，所以说，“城镇化是最好的避孕药”： 1.2 股票组合 在现实生活中了解相关性是很有用处...
2019-06-25 10:13:03
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原创 如何理解指数分布？
1 泊松分布 指数分布和泊松分布息息相关，所以先简单回忆下之前介绍过的泊松分布。公司楼下有家馒头店，每天早上六点到十点营业： 老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据），想从中找到一些规律： 从中可以得到最简单的规律，均值： 这个规律显然不够好，如果把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用来表示： 然后把卖出的馒头数画在这根线段上（节约篇幅，只画出周一...
2019-05-06 10:34:30
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原创 什么是概率？
1 争论 概率论需要回答的第一个问题就是，什么是概率？ 刚接触这门学科的同学可能觉得难以置信，这个问题仍然存在着广泛的争论： 而且这个问题更像是一个哲学问题，而不是数学问题，确实也有不少哲学家参与讨论。 对于概率的定义有几个主流的派别： 频率派 古典派 主观派 了解这些派别对于理解概率论很有帮助，下面来简单介绍一下。 2 频率派 首先来了解下频率派，频...
2019-03-12 10:54:48
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原创 概率论的起源
继《线性代数》和《单变量微积分》后，“马同学图解”系列又迎来新的成员 ---- 《概率论与数理统计》，覆盖浙江大学《概率与数理统计》前八章（考研范围），下面是本课程的第一篇文章，欢迎大家试读和购买（微信公众号：马同学高等数学，菜单“图解”中购买）。 1 随机现象 在生活中有些现象是注定的，比如往空中扔一个石头必然会落回地面，这叫作确定性现象 。 也有不确定的现象，大家都见过骰子吧，下面是常...
2019-03-05 11:53:18
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原创 如何理解无偏估计量？
现实中常常有这样的问题，比如，想知道全体女性的身高均值 ，但是没有办法把每个女性都进行测量，只有抽样一些女性来估计全体女性的身高： 那么根据抽样数据怎么进行推断？什么样的推断方法可以称为“好”？ 1 无偏性 比如说我们采样到的女性身高分别为： 那么： 是对 不错的一个估计，为什么？因为它是无偏估计。 首先，真正的全体女性的身高均值 ，我们是不知道，只有上帝才知道，在图中就画...
2018-09-15 16:49:04
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原创 如何理解主元分析（PCA）？
主元分析也就是PCA，主要用于数据降维。 1 什么是降维？ 比如说有如下的房价数据： 这种一维数据可以直接放在实数轴上： 不过数据还需要处理下，假设房价样本用 表示，那么均值为： 然后以均值 为原点： 以 为原点的意思是，以 为0，那么上述表格的数字就需要修改下： 这个过程称为“中心化”。“中心化”处理的原因是，这些数字后继会参与统计运算，比如求样本方差，中间就包...
2018-08-31 12:14:03
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原创 如何理解拉格朗日乘子法和KKT条件？
之前简单介绍了拉格朗日乘子法的基本思路：如何理解拉格朗日乘子法？ 本文会继续介绍拉格朗日乘子法的细节，以及对其进行适当的推广（也就是所谓的KKT条件）。 1 无约束下的极值 1.1 直观 根据梯度的意义（参看如何理解梯度）可知，在函数 的极值点梯度为0： 1.2 代数 要求（ 的意思是求极小值）： 只需解如下方程： 2 单等式约束下的极值 关于这一节，更详细的请参看：...
2018-08-18 19:13:39
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原创 为什么正态分布如此常见？
自然界中存在大量的正态分布，比如女性的身高： 图片出自这里。 正态分布的英文名为：Normal Distribution，台湾翻译为常态分布，可见一斑。可是为什么这么常见呢？ 每个人都相信它（正态分布）：实验工作者认为它是一个数学定理，数学研究者认为他是一个经验公式。 ----加布里埃尔·李普曼 1 高尔顿钉板 弗朗西斯·高尔顿爵士（1822－1911），查尔斯·达尔文的表弟...
2018-08-01 11:40:34
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原创 如何理解最小二乘法？
最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。 从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。 ----乔治·斯蒂格勒的《The History of Statistics》 1 日用而不知 来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子： 用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）： 之所以出现不同的值可能因为： 不同厂家的尺子的生产精度不同 ...
2018-07-20 10:14:09
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原创 如何通俗理解泊松分布？
1 甜在心馒头店 公司楼下有家馒头店： 每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？ 老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据）： 均值为： 按道理讲均值是不错的选择（参见如何理解最小二乘法？），但是如果每天准备5个馒头的话，从统计表来看，至少有两天不够卖，的时间不够卖： 你“甜在心馒头店”又不是...
2019-04-12 14:48:40
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原创 如何通俗地理解熵？
熵，是一个热力学的概念。但在历史的发展中，造就了它非常丰富的内涵，进入了很多学科的视野。本文会在数理层面对它进行一个解读，厘清它在逻辑上到底是什么。 1 混乱的熵 很多科普文章中，都提到熵是用来度量混乱的。比如下面这幅动图，单词“Entropy”（熵的英文）可见的时候，熵最小，这个时候最有秩序；而被打乱的时候，熵开始增大，直到最后一片混乱，熵变成最大： 熵之所以很重要，是因为它总结了宇宙...
2019-10-08 16:07:42
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