矩阵论练习24（化零多项式）

标签：向量   isp   多项式   math   lambda   class   矩阵   练习   解答   

命题

设 \(f(x)\) 是多项式。若 \(f(A)=O\)，则 \(A\) 的特征值均是 \(f(x)=0\) 的根。

证明

对 \(A\) 的特征值 \(\lambda_0\) 和特征向量 \(\eta, \eta\ne \theta\)，有

推广到

再推广，对多项式 \(\varphi\)，有

取 \(\varphi = f\)，由于 \(\eta\ne 0\)，则

说明：这个定理的逆定理不成立。

题目

已知 \(A^2=A\). 证明：\(A\) 的特征值只能是 \(0\) 或 \(1\)。

解答

根据上面的命题可知，\(A\) 的特征值应满足 \(\lambda_0^2 = \lambda_0\)，因此 \(\lambda_0\) 只能是 \(0\) 或 \(1\)。
需要说明的是，\(A\) 的特征值可能是 \(0\)，比如取 \(A=O\)；也可能是 \(1\)，比如取 \(A=I\)；也可能 \(0\)、\(1\) 均有。但不会有 \(0\) 和 \(1\) 之外的其他值。

矩阵论练习24（化零多项式）

标签：向量   isp   多项式   math   lambda   class   矩阵   练习   解答   

原文地址：https://www.cnblogs.com/forcekeng/p/12918212.html