标签：现在 span 模拟 结合 位置 总结 限制 没有 单位
比如算满足一些条件，可以容斥算不满足某个集合的条件
对两个关于集合的函数 \(g(S), f(S)\) ，
如果 \(g(S)=\sum_{T \subseteq S} f(T),\) 那么 \(f(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} g(T)\)
如果 \(g(S)=\sum_{T \supseteq S} f(T),\) 那么 \(f(S)=\sum_{T \supseteq S}(-1)^{|S|-|T|} g(T)\)
做过，只说下大概思路
设 \(f(S)\) 为只有 \(S\) 中的硬币超过了限制的方案数，\(g(S)\) 为 \(S\) 中 的硬币超过了限制 (其它的任意) 的方案数。
那么 \(g(S)=\sum_{T \supseteq S} f(T)\)， 我们要求的就是 \(f(\emptyset)\)
题意：
有一个 \(N\) 个点的无向完全图和 \(M\) 中颜色, 图 \(G\) 的价值 \(f(G)\) 为使得同一个联通块的点颜色相同的染色方案数。
求 \(\sum_{S \subseteq E, S \neq 0}(-1)^{|S|-1} f(G(S))\)
\(E\) 为边集, \(S\) 取遍 \(E\) 的所有非空子集, \(G(S)\) 为 \(S\) 中的边构成的图 \(N, M \leq 10^{6}\)
设\(H(x)\)表示满足条件x的染色方案，注意x是任意一个条件，不是变量
则有\(f(G(S))=|\bigcap_{e\in S}H(e_x=e_y)|\)
设\(P(e)=[e_x=e_y]\)
就是至少有两个点相同的方案数，\(M^N-\prod _{i=1}^N(M-i+1)\)（总方案数-都不相同）
见之前写的复习博客
详见WC集训笔记，这个课件上也没讲啥多的
给出 \(n\) 和 \(k,\) 定义一个简单无向图的价值为每个点度数的 \(k\) 次方模 \(998244353\) 的结果。
\(1 \leq n \leq 10^{9}, 1 \leq k \leq 200000\)
考虑一个点的贡献，
由于
所以
这个式子的上下界其实没有必要纠结...因为d<x的时候自动就等于0了
式子的后面部分的组合意义是现在 ?? ? 1 个数中选 ?? 个, 再在这 ?? 个中选 ?? 个, 相当于先选 ?? 个, 其他的任意。
那么我们要求出一行第二类斯特林数
枚举空盒，有容斥式子：
就可以NTT了。
对于一个可以用 DP 解决的问题，我们要求有多少中输入使得这个问题的答案为 ??。
做法是在原 DP 的基础上暴力加上一维来记录每个状态的 DP 值, 并统计在这种情况下的方案数。
经典老题，做过但是没写总结
给一个由 ???????? 组成的字符串 ??, 对于每个 1 ≤ ?? ≤ |??|, 问有多 少个只由 ???????? 组成的长度为 ?? 的串 ?? , 使得 ?? 和 ?? 的最长公 共子序列为 ??。
\(|??| ≤ 15, 1 ≤ ?? ≤ 1000\)
\(0 ≤ ??(??, ??) ? ??(??, ?? ? 1) ≤ 1\), 于是可以记录 \(??(??, ??)\) 差分的结果作为状态。
设\(f[i][S]\)表示在第 \(i\) 个位置，差分状态为 \(j\) 的方案数，预处理S选择下一个字母的转移即可。
给出 \(T, A, B, C, D,\) 求对于所有 \(A \leq x \leq B, C \leq y \leq D, x \& y=T\)，\(x | y\) 有多少种不同的取值。
\(0 \leq T, A, B, C, D \leq 2^{60}\)
显然知道x就可以通过T求y，那么记录一下xy与ABCD的相对关系就可以按位dp了。
所以跟dp套dp有什么关系啊
置换 \(\sigma\) 是一个从集合 1, \(2, \cdots, n\) 到自身的一一映射
\( \sigma=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \end{array}\right) \)
其中 \(a\) 是一个排列。
置换可以做乘法, 如 \(\left(\begin{array}{c}a \\ b\end{array}\right) *\left(\begin{array}{c}b \\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a \\ c\end{array}\right)\)
置换群 ?? 是一个置换的集合, 并且满足以下条件:
有任意置换能使一种染色方案变成另一种时，我们称其等价。
也就是\(\exist f \in G,f*c=d\)，c和d等价。
定义 \(C(??)\) 为在置换 \(??\) 的作用下不动点的集合
\(N(G)=\frac 1 {|G|}\sum_{f\in G}|C(f)|\)
即等价类数为不动点的平均值。
在一个有k个循环（轮换）的置换\(f\)中，显然同一循环节要染同一颜色，不同循环节则不影响，那么本质不同的方案数为
其中\(c_i\)是\(f_i\)的循环个数
好！
还有模拟赛要打，就先这么多...
本来想看看课件后面的题，结果开 幕 雷 击给我整个不可做题
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原文地址：https://www.cnblogs.com/lcyfrog/p/12928256.html
