Comet OJ - Contest #11 ffort

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题意

\(m\)种武器，第\(i\)种有\(a_i\)个，贡献为\(\in[1,b_i]\)，\(n\)个敌人，每个武器可以选择将贡献分给多个人，每个人都至少被贡献过。
一个方案不同，为某个武器贡献不同，或某个人被贡献的不同。（武器具体贡献给谁其实并不重要）
\(n\times m\le 10^5\)，\(a_i\in[1,10^5],b_i\in[1,mod)\)

做法一

令总贡献为\(a\)，\(a\)分给\(m\)个人：\({a-1\choose m-1}\)
但\(a\)上界太大了

我们这样做，比如：\(len_1,len_2,len_3,len_4\)，\(len_1\)可以有\(i\in[0,len_1)\)种个数，\(len_2\)可以有\(i\in[0,len_2)\)种个数...\(len_1\)与\(len_2\)中有一个点可以选或不选，\(len_2\)与\(len_3\)，\(len_3\)与\(len_4\)
然后所有的个数选\(n-1\)个，则我们可以用\(x^i\)的系数表示选择\(i\)个的方案数，令\(F_i\)表示这个，然后就是\(F_i^{a_i}\)，合并的时候\(\times(1+x)\)

暴力快速幂\(O(nmlognloga_i)\)，用exp可以优化到\(O(nmlogn)\)，但应该没什么用...

做法二

令\(\displaystyle G=\prod_{i=1}^{n}\left[\mathbf{OGF}\left\{0,\underset{b_i}{\underbrace{1,\ldots,1}}\right\}\right]^{a_i}\)

多项式求导后：\(\displaystyle f^{(k)}(x)=\sum_{i=k}^{\infty}f_ii^{\underline{k}}\cdot x^{i-k}\)，则有\(\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}f_ii^{\underline{m-1}}=f^{(m-1)}(1)\)
则有\(Ans=\frac{1}{(m-1)!}F^{(m-1)}(1)\)

考虑\(\displaystyle F=\frac{1}{x}\prod_{i=1}^{n}\left[\mathbf{OGF}\left\{0,\underset{b_i}{\underbrace{1,\ldots,1}}\right\}\right]^{a_i}\)的\((m-1)\)阶导

• 求\(\displaystyle t=\prod_{i=1}^{n}t_i\)的\(k\)阶导，反复利用\((fg)‘=f‘g+fg‘\)
• \(\displaystyle t^{(k)}=\sum_{a_1+a_2+\cdots+a_n=k}\binom{k}{a_{1\ldots n}}\prod_{i=1}^{n}t_i^{(a_i)}\)
• \(\displaystyle t^{(k)}=k![z^k]\prod_{i=1}^{n}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{t_i^{(j)}}{j!}z^j\)

令\(f_i=\mathbf{OGF}\left\{0,\underset{b_i}{\underbrace{1,\ldots,1}}\right\}\)，特殊的，\(f_0=\dfrac{1}{x},a_0=1\)，则\(\displaystyle F=\prod_{i=0}^{n}f_i^{a_i}\)

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原文地址：https://www.cnblogs.com/Grice/p/12940354.html